$G(B) = \{k \in \Bbb{Z} : \#(A+k) \cap B = \infty \text{ whenever } \#(A \cap B) = \infty\, A \subset \Bbb{Z}\}$ es un grupo. Pregunta...

Question

Dejemos que $B \subset \Bbb{Z}$ sea cualquier subconjunto infinito. Definir $G(B) = \{k \in \Bbb{Z} : \#(A+k) \cap B = \infty \text{ whenever } \#(A \cap B) = \infty\, A \subset \Bbb{Z}\}$ . Forma un subgrupo aditivo de $\Bbb{Z}$ . Dejemos que $P^2 = \{pq \in \Bbb{Z}: p,q \text{ prime}\}$ . ¿Cómo puedo demostrar que $1 \in G(P^2)$ Lo que equivale a decir $\#(A + 1) \cap P^2 = \infty$ siempre que $\# A\cap P^2 = \infty$ ?

Answer 1

Esto es falso. Dejemos que $A$ sea el conjunto de productos $p q,$ donde $p, q$ son primos, y $p\equiv 1 \mod 4,$ $q\equiv 3 \mod 4.$ Entonces, cada elemento de $A+1$ es divisible por $4,$ y por lo tanto no está en $P^2.$

Answer 2

Dejemos que $p$ sea primo y $A=pP$ , en cuyo caso claramente $A\cap P$ es infinito. Entonces $A+p\cap P^2$ es finito porque $pq+p=p(q+1)$ está en $P^2$ sólo es posible con $q=2$ . Concluimos $p\notin G(P^2)$ . Como $G(P^2)$ es aditivo concluimos que $1\notin G(B)$ .

(Inspirado por Igor Rivin ): Dejemos que $n\in \Bbb N$ ser compuesto. Entonces hay infinitos primos $\equiv 1\pmod n$ Dejemos que $A$ sea el conjunto de productos de dos primos semejantes, un subconjunto infinito de $P^2$ . Entonces $A+n-1$ contiene sólo múltiplos de $n$ y a lo sumo uno de estos múltiplos es el producto de dos primos. Concluimos que $G(B)$ no contiene ningún entero compuesto positivo. Como $a\in G(B)$ implica que el compuesto $6|a|$ es $\in G(B)$ concluimos que $$ G(P^2)=\{0\}.$$