Encuentra el valor mínimo de la función a(x).

Question

$$a(x)= \sqrt{x^3}+\sqrt{x^{-3}}-4(x+\frac{1}{x})$$

Una de las formas que se me ocurrió fue averiguar el extremo global Pero cuando empecé a hacerlo, me di cuenta de que se necesita mucho esfuerzo y tiempo. esfuerzos y tiempo. ¿Hay alguna forma más sencilla de proceder? Además, por favor, sugiera mejores etiquetas si es necesario.

Answer 1

Desde $x\gt 0$ podemos elegir $y\gt 0$ tal que $x=y^2$ entonces la expresión dada se convierte en $$(y + {1\over y})^3 - 3(y+{1\over y}) - 4(y+{1\over y})^2 + 8$$ Eso equivale a encontrar el mínimo de $$t^3-4t^2-3t+8$$ para $t\ge 2$

Answer 2

Pista: Es $$\sqrt{x^3}+\frac{1}{\sqrt{x^3}}-4\left(x+\frac{1}{x}\right)\geq -10$$ y esto equivale a $$\frac{(x-1)^2(1-7x+x^2)^2}{x^3}\geq 0$$