Una pregunta de probabilidad sobre la suma

Question

Dejemos que $X_{1}$ , $X_{2}$ , $X_{3}$ , $X_{4}$ , $X_{5}$ y $X_{6}$ sean variables aleatorias de valor real que tienen la misma distribución de probabilidad con momentos finitos, y son independientes. ¿Sabe alguien cómo aplicar la desigualdad de Markov para demostrar que $$ P\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}+X_{5}+X_{6}\le3\right)\le2P\left(X_{1}\le1\right)? $$

Gracias por las respuestas útiles.

Answer 1

Edición: Esta respuesta se refiere a una versión anterior de la pregunta.

Si $X_1 > 1$ y $X_2 > 1$ entonces $X_1+X_2+X_3+X_4 > 2$ . Por lo tanto, $$\Pr[X_1+X_2+X_3+X_4 > 2] \geq \Pr[X_1>1 \text{ and } X_2>1]. $$ El límite de unión muestra que el negación del evento " $X_1 > 1$ y $X_2 > 1$ "tiene una probabilidad máxima de $$\Pr[X_1 \leq 1] + \Pr[X_2 \leq 1] = 2\Pr[X_1 \leq 1].$$ Por lo tanto, $$\Pr[X_1+X_2+X_3+X_4 \leq 2] \leq 2\Pr[X_1 \leq 1]. $$ Obsérvese que no hemos necesitado utilizar el hecho de que $X_1$ y $X_2$ son independientes.

Answer 2

La tarea principal aquí es adivinar cuáles son las hipótesis correctas del enunciado a demostrar... Supongamos que las variables aleatorias $X_k$ son (1) idénticamente distribuidos , (2) casi seguramente no negativo , (3) no son necesariamente independientes .

Presentar el evento $A=[X_1+\cdots+X_6\leqslant3]$ y la variable aleatoria $N=\sum\limits_{k=1}^6\mathbf 1_{X_k\leqslant1}$ .

Entonces $\mathrm E(N)=6\mathrm P(X_1\leqslant1)$ y $A\subseteq[N\geqslant3]$ desde $X_1+X_2+\cdots+X_6\geqslant N$ en el sentido de la palabra. Así, $\mathrm P(A)\leqslant\mathrm P(N\geqslant3)\leqslant\frac13\mathrm E(N)=2\mathrm P(X_1\leqslant1)$ , donde $\mathrm P(N\geqslant3)\leqslant\frac13\mathrm E(N)$ es la desigualdad de Markov.

Esto demuestra la desigualdad deseada. El mismo enfoque demuestra de forma más general que $$ \mathrm P(X_1+\cdots+X_n\leqslant k)\leqslant\frac{n}{n-k}\,\mathrm P(X_1\leqslant1). $$ Se ve que no se requiere ni independencia ni momentos finitos. En cambio, la no negatividad casi segura es crucial. Para ver esto, supongamos por ejemplo que $\mathrm P(X_k=-7)=p=1-\mathrm P(X_k=2)$ por cada $k$ y que las variables aleatorias $X_k$ son independientes.

Entonces $[N\geqslant1]\subseteq A$ por lo que $\mathrm P(A)\geqslant1-\mathrm P(N=0)$ . Además, $\mathrm P(X_1\leqslant1)=p$ y $\mathrm P(N=0)=(1-p)^6=1-6p+o(p)$ cuando $p\to0^+$ Por lo tanto $\mathrm P(A)\geqslant1-(1-p)^6=6p+o(p)\gt3p=3\mathrm P(X_1\leqslant1)$ por cada $p$ lo suficientemente pequeño.