¿Existe un mapa biyectivo de$(0,1)$ a$\mathbb{R}$?

Question

No pude encontrar un mapa biyectivo de$(0,1)$ a$\mathbb{R}$. ¿Hay algún ejemplo?

Answer 1

Aquí hay una buena${}{}{}{}{}{}{}{}{}$, ¿puedes encontrar la ecuación?

Answer 2

Aquí hay una biyección de$(-\pi/2,\pi/2)$ a$\mathbb{R}$: $$ f (x) = \ tan x. $$ Puedes jugar con esta función y solucionar tu problema.

Answer 3

$g(x)=\frac 1{1+e^x}$ da una biyección de$\Bbb R$ a$(0,1)$, así que toma el inverso de este mapa.

Answer 4

Para un ejemplo menos diferenciable, considere la biyección en la siguiente imagen,

En símbolos, dado$x \in (0,1)$, sea$n$ el número natural más grande, de modo que$1-\frac{1}{n}<x$, defina PS para ser la versión renormalizada de$$y=\frac{x-n}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}$ si el intervalo$x$ se reescala y se desplaza para mapear a$(1-\frac{1}{n},1-\frac{1}{n+1}]$. Entonces tenemos la siguiente biyección: $$ f (x) = \begin{cases}\frac{n-1}{2}+y,& n \text{ odd} \\ -\frac{n-2}{2}-y,& n \text{ even}\end {casos} $$