Derivada covariante evanescente de un campo vectorial

Question

Me piden que demuestre la siguiente afirmación en mi libro de física:

Un campo vectorial con componentes covariantes $v^b$ para tener una derivada covariante evanescente en todas las partes de una variedad, debe satisfacer: $$(\partial_b\Gamma^{d}{}_{ac}-\partial_c\Gamma^{d}{}_{ab}+\Gamma^{e}{}_{ac}\Gamma^{d}{}_{eb}-\Gamma^{e}{}_{ab}\Gamma^{d}{}_{ec})v^a=0.$$

Edición: Esto es lo que he probado después de la sugerencia de @PraharMitra:

Desde $\nabla_a v^b=0$ , claramente $[\nabla_b,\nabla_c]v^d=\nabla_b\nabla_cv^d-\nabla_c\nabla_dv^d=0$ .

Como la derivada covariante de una componente contravariante se define como $\nabla_bv^d=\partial_bv^d+\Gamma^d{}_{eb}v^e$ y la derivada covariante de una componente covariante como $\nabla_bv_d=\partial_bv_d+\Gamma^e{}_{db}v_e$ tengo que hacerlo:

$$ \nabla_b(\nabla_cv^d)=\partial_b(\nabla_cv^d)-\Gamma^e{}_{cb}(\nabla_ev^d)+\Gamma^d{}_{eb}(\nabla_cv^e) $$

Ahora introduzcamos las derivadas covariantes con respecto a c:

$$ \nabla_b(\nabla_cv^d)=\partial_b(\partial_cv^d+\Gamma^d{}_{ac}v^a)-\Gamma^e{}_{cb}(\partial_ev^d+\Gamma^d{}_{ae}v^a)+\Gamma^d{}_{eb}(\partial_cv^e+\Gamma^e{}_{ac}v^a) $$ $$=\partial_b\partial_cv^d+\partial_b\Gamma^d{}_{ac}v^a-\Gamma^e{}_{cb}\partial_ev^d+\Gamma^e{}_{cb}\Gamma^d{}_{ae}v^a+\Gamma^d{}_{eb}\partial_cv^e+\Gamma^d{}_{eb}\Gamma^e{}_{ac}v^a$$

A partir de esta expresión es sencillo obtener el $\nabla_c(\nabla_bv^d)$ intercambiando los índices b y c. Lo conseguí:

$$ \nabla_c(\nabla_bv^d)=\partial_c\partial_bv^d+\partial_c\Gamma^d{}_{ab}v^a-\Gamma^e{}_{bc}\partial_ev^d+\Gamma^e{}_{bc}\Gamma^d{}_{ae}v^a+\Gamma^d{}_{ec}\partial_bv^e+\Gamma^d{}_{ec}\Gamma^e{}_{ab}v^a $$

Ahora, sobre la sustracción:

$$ \nabla_b(\nabla_cv^d)-\nabla_c(\nabla_bv^d)=\partial_b\partial_cv^d+\partial_b\Gamma^d{}_{ac}v^a-\Gamma^e{}_{cb}\partial_ev^d+\Gamma^e{}_{cb}\Gamma^d{}_{ae}v^a+\Gamma^d{}_{eb}\partial_cv^e+\Gamma^d{}_{eb}\Gamma^e{}_{ac}v^a-[\partial_c\partial_bv^d+\partial_c\Gamma^d{}_{ab}v^a-\Gamma^e{}_{bc}\partial_ev^d+\Gamma^e{}_{bc}\Gamma^d{}_{ae}v^a+\Gamma^d{}_{ec}\partial_bv^e+\Gamma^d{}_{ec}\Gamma^e{}_{ab}v^a] $$

Los términos con las dos derivadas parciales desaparecen, ya que se pueden intercambiar:

$$=\partial_b\Gamma^d{}_{ac}v^a-\Gamma^e{}_{cb}\partial_ev^d+\Gamma^e{}_{cb}\Gamma^d{}_{ae}v^a+\Gamma^d{}_{eb}\partial_cv^e+\Gamma^d{}_{eb}\Gamma^e{}_{ac}v^a-[\partial_c\Gamma^d{}_{ab}v^a-\Gamma^e{}_{bc}\partial_ev^d+\Gamma^e{}_{bc}\Gamma^d{}_{ae}v^a+\Gamma^d{}_{ec}\partial_bv^e+\Gamma^d{}_{ec}\Gamma^e{}_{ab}v^a] $$

En esta última expresión, los términos primero, sexto, octavo y décimo pueden unirse para ser $(\partial_b\Gamma^{d}{}_{ac}-\partial_c\Gamma^{d}{}_{ab}+\Gamma^{e}{}_{ac}\Gamma^{d}{}_{eb}-\Gamma^{e}{}_{ab}\Gamma^{d}{}_{ec})v^a$ que se reconoce como el término que queríamos demostrar que es 0 para tener una derivada covariante evanescente (nótese que los términos con dos coeficientes de conexión se conmutan). Podemos decir además que $(\partial_b\Gamma^{d}{}_{ac}-\partial_c\Gamma^{d}{}_{ab}+\Gamma^{e}{}_{ac}\Gamma^{d}{}_{eb}-\Gamma^{e}{}_{ab}\Gamma^{d}{}_{ec})v^a=R^d{}_{abc}v^a$ la curvatura riemanniana. Al reescribirlo, queda:

$$\nabla_b(\nabla_cv^d)-\nabla_c(\nabla_bv^d)=R^d{}_{abc}v^a+[-\Gamma^e{}_{cb}\partial_ev^d+\Gamma^e{}_{cb}\Gamma^d{}_{ae}v^a+\Gamma^d{}_{eb}\partial_cv^e]-[-\Gamma^e{}_{bc}\partial_ev^d+\Gamma^e{}_{bc}\Gamma^d{}_{ae}v^a+\Gamma^d{}_{ec}\partial_bv^e] $$

Suponiendo que el colector no tiene torsión, tendríamos $\Gamma^a{}_{bc}=\Gamma^a{}_{cb}$ y, por lo tanto, el primer y el segundo término de cada paréntesis se cancelarían, dejándonos con:

$$\nabla_b(\nabla_cv^d)-\nabla_c(\nabla_bv^d)=0=R^d{}_{abc}v^a+\Gamma^d{}_{eb}\partial_cv^e-\Gamma^d{}_{ec}\partial_bv^e$$

Para demostrar nuestra afirmación inicial, parece que esos dos términos con los coeficientes de conexión deben desaparecer, pero no veo cómo lo hacen o dónde me he equivocado...

Answer 1

A continuación, se indican los pasos que deberá seguir para probar el resultado:

1. Desde $D_a v^b = 0$ También tenemos $[D_b , D_c ] v^d = D_b D_c v^d - D_c D_b v^d = 0$ .

2. A continuación, demuestre que para cualquier campo vectorial, tenemos $[D_b , D_c ] v^d = R^d{}_{abc} v^a$ donde $R^d{}_{abc} = \partial_b \Gamma^d_{ca} - \partial_c\Gamma^d_{ba} + \Gamma^d_{be} \Gamma^e_{ca} - \Gamma^d_{ce} \Gamma^e_{ba}$ .

3. Concluye que tu ecuación se cumple a partir de 1) y 2).

La afirmación inversa no es válida.

Voy a dar una pequeña pista para el cálculo: \begin {align} D_b D_c v^d &= \partial_b ( D_c v^d ) - \Gamma ^e_{bc} D_e v^d + \Gamma ^d_{be} D_c v^e \\ &= \partial_b ( \partial_c v^d + \Gamma ^d_{ca} v^a ) \\ & \qquad - \Gamma ^e_{bc} ( \partial_e v^d + \Gamma ^d_{ea} v^a ) \\ & \qquad + \Gamma ^d_{be} ( \partial_c v^e + \Gamma ^e_{ca} v^a ) \end {align} Ahora, amplía y simplifica. Luego, intercambia $b \leftrightarrow c$ y restar.

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EDITAR:

1. El error en el cálculo de OPs está en la siguiente ecuación $$ \nabla_b(\nabla_cv^d)=\partial_b(\partial_cv^d+\Gamma^d{}_{ac}v^a)-\Gamma^e{}_{cb}(\partial_ev^d+\Gamma^d{}_{ae}v^a)+\Gamma^d{}_{eb}(\partial_cv^e+\Gamma^e{}_{ac}v^a) $$ $$=\partial_b\partial_cv^d+\partial_b\Gamma^d{}_{ac}v^a-\Gamma^e{}_{cb}\partial_ev^d+\Gamma^e{}_{cb}\Gamma^d{}_{ae}v^a+\Gamma^d{}_{eb}\partial_cv^e+\Gamma^d{}_{eb}\Gamma^e{}_{ac}v^a$$ Al hacerlo, están asumiendo $$\partial_b(\partial_cv^d+\Gamma^d{}_{ac}v^a)=\partial_b\partial_cv^d+\partial_b\Gamma^d{}_{ac}v^a$$ mientras que la ecuación correcta es $$\partial_b(\partial_cv^d+\Gamma^d{}_{ac}v^a)=\partial_b\partial_cv^d+\partial_b\Gamma^d{}_{ac}v^a+\Gamma^d{}_{ac}\partial_bv^a$$

2. Además de esto, también hay un error de señalización. Escriben $$-\Gamma^e{}_{cb}(\partial_ev^d+\Gamma^d{}_{ae}v^a)=-\Gamma^e{}_{cb}\partial_ev^d+\Gamma^e{}_{cb}\Gamma^d{}_{ae}v^a$$ que debe ser $$-\Gamma^e{}_{cb}(\partial_ev^d+\Gamma^d{}_{ae}v^a)=-\Gamma^e{}_{cb}\partial_ev^d-\Gamma^e{}_{cb}\Gamma^d{}_{ae}v^a$$

3. También hay lo que probablemente sea una errata en la pregunta original. El PO escribe $\nabla_bv_d=\partial_bv_d+\Gamma^e{}_{db}v_e$ que debe ser $\nabla_bv_d=\partial_bv_d-\Gamma^e{}_{db}v_e$ Lo más probable es que se trate de un error tipográfico, ya que no se propaga al resto de la respuesta.

4. Otra errata está en el inicio del cálculo: $[\nabla_b,\nabla_c]v^d=\nabla_b\nabla_cv^d-\nabla_c\nabla_dv^d=0$ debe ser $[\nabla_b,\nabla_c]v^d=\nabla_b\nabla_cv^d-\nabla_c\nabla_bv^d=0$