Sigue con la prueba en Hatcher, cohomología celular

Question

Estoy tratando de entender la prueba del teorema 3.5 de Hatcher. No estoy seguro de la última línea que $H^n(X;G)\cong H^n(X^{n+1};G)\cong \ker \delta_n \cong \ker d_n/im \delta_{n-1}\cong \ker d_n/im d_{n-1} $ .

Por definición, pensé $H^n(X^{n+1};G) \cong \ker \delta_n/ im \delta_{n-1}$ . No me parece obvio que $im \delta_{n-1}$ es trivial? Tampoco estoy seguro de por qué eso $H^k(X^n;G\cong 0)$ da que las secuencias diagonales son exactas.

Answer 1

Cuando Hatcher escribe $H^n(X^{n+1};G) \cong \ker \delta_n$ se refiere al mapa $\delta_n$ en la secuencia exacta larga para el par $(X^{n+1}, X^n)$ no el mapa de coordenadas en algún complejo de cadenas. La parte relevante de la larga secuencia exacta está en el diagrama de tu post, yendo en diagonal a partir de $H^n(X^{n+1}, X^n) = 0$ en el fondo.