Diferentes definiciones de la dimensión de un álgebra

Question

Conozco tres formas de definir la dimensión de un álgebra conmutativa finitamente generada A sobre un campo F:

• La dimensión de Gelfand-Kirillov (GK), basada en el crecimiento de la función de Hilbert.
• La dimensión de Krull, basada en cadenas de ideales primos.
• El grado de trascendencia del campo de fracciones de A sobre F.

Según Artin, la dimensión GK es la noción más robusta porque se aplica a ciertas álgebras no conmutativas. Y en el entorno no conmutativo no se pueden formar campos de fracciones, por lo que el grado de trascendencia está fuera de lugar (¿no?).

Pero la dimensión de Krull tiene la ventaja de que se aplica a anillos arbitrarios. Hasta donde yo sé, la definición de dimensión de GK sólo se aplica a las álgebras. Entonces: como cuestión de pedagogía, ¿qué noción de dimensión es más apropiada para qué aplicaciones? ¿Cuál es más fácil de demostrar cuando se trata de cosas?

Answer 1

En el álgebra no conmutativa, la dimensión de Krull ha sido generalizada por Gabriel y Rentschler. Se puede encontrar una descripción decente de la misma en el capítulo 6 del libro de McConnell y Robson sobre anillos noetherianos no conmutativos.

La idea básica es la siguiente: Un módulo artiniano tiene dimensión Krull 0.

Un módulo que no tiene dimensión de Krull 0 tiene dimensión de Krull 1 si en cada cadena descendente infinita de submódulos todos los factores de composición, excepto los finitos, tienen dimensión de Krull 0.

Un módulo que no tiene dimensión de Krull 0 o 1 tiene dimensión de Krull 2 si en cada cadena descendente infinita de submódulos todos los factores de composición, excepto los finitos, tienen dimensión de Krull 0 o 1.

La definición continúa para todos los ordinales finitos (y puede extenderse a todos los ordinales). Entonces la dimensión de Krull de un anillo R es la dimensión de Krull de R como módulo sobre sí mismo.

Answer 2

A menudo, la dimensión más útil en el álgebra no conmutativa es la longitud de la mínima resolución inyectiva del anillo como módulo sobre sí mismo. En muchos casos importantes es la misma que la dimensión global cuando ésta es finita, pero es más robusta en el sentido de que es finita con más frecuencia. En un anillo noetheriano conmutativo es la misma que la dimensión de Krull cuando es finita.

Answer 3

En un no-conmutativa anillo, usted necesita tener cuidado con lo que significa un primer ideal, y por lo general hay muy pocos de dos caras ideales que se podría llamar el primer. Oh, y aun en los casos cuando hay un bonito anillo de fracciones, no será un campo, y así transcedence grado sigue siendo mala.

Mi favorito personal noción de dimensión es la "dimensión global", la máxima dimensión proyectiva de cualquier módulo del anillo. Este concepto existe para cualquier anillo, y de hecho, para cualquier abelian categoría (aunque, si no hay suficiente projectives, usted necesita jugar con la definición). El único problema es que a menudo puede ser infinito, incluso relativamente leve anillos, como C[x]/x^2. Es una muy buena teoría de la 'suave dimensión', sin embargo.

Desde una perspectiva conceptual, la dimensión de Krull parece el más adecuado para geométrica perspectivas, ya que es la medición de las cadenas de irreductible cerrada por subconjuntos. El momento más sencillo trabajar con la dimensión de Krull es cuando estás en una Cohen-Macaulay anillo, y luego Krull dimensión es equivalente a la profundidad, que es más fácil de probar cosas, ya que sólo necesita para producir un máximo de secuencia regular.

Answer 4

Sé que no ha habido ninguna acción en esta cuestión en un tiempo, pero me sorprendió que nadie mencionara la dimensión débil y quería opinar. No pretendo quitarle nada a la dimensión global derecha (también es mi favorita), pero la dimensión débil parece funcionar con tanta generalidad como la dimensión global y puede descartar algunas patologías. Por ejemplo, la dimensión débil derecha (mirando la dimensión plana de la derecha $R$ -) es igual a la dimensión débil izquierda. Además, la dimensión débil da realmente una información diferente de las nociones de dimensión discutidas hasta ahora (para $R$ noetheriano). Por ejemplo, los anillos de dimensión débil cero son exactamente anillos regulares de Von Neumann (también son los anillos para los que todos los ideales primos son máximos).

En este enlace encontrará un artículo que le gustará, en el que se calculan todas las dimensiones comentadas hasta ahora para un anillo concreto: http://arxiv.org/abs/0912.0723

Answer 5

En realidad existe un grado de trascendencia de Gelfand-Kirillov para un álgebra no conmutativa sobre un campo que generaliza el grado de trascendencia clásico. Gelfand y Kirillov lo introdujeron para demostrar que el campo de fracciones para el $n$ El álgebra de Weyl es diferente para diferentes $n$ . Aquí hay un documento de James Zhang que da la definición y la calcula para varios ejemplos.

De hecho, hay una teoría bastante buena para cuando se puede formar un campo de fracciones. Un dominio noetheriano siempre tiene un campo de fracciones, en una construcción que se parece mucho al caso conmutativo. (Es un caso especial de Teorema de Goldie .) Para los dominios noetherianos, las cosas son más complicadas: el dominio puede no tener un campo de fracciones, y cuando lo tiene, no suele tener un único campo más pequeño en el que se incrusta (a diferencia del caso noetheriano conmutativo o no conmutativo).