Valores propios de la matriz que satisface $A^2 = A$

Question

Estaría muy agradecido si alguien puede ayudarme con la siguiente tarea:

Me dan una $n\times n$ matriz $A$ .

Si $A \neq I,0$ y $A = A^2$ Necesito demostrar que $\lambda=0$ y $\lambda=1$ son $A$ y que son $A$ de los valores propios.

Answer 1

Supongamos que $\;0\neq v\in V\; $ es un vector propio de $\;A\;$ con valor propio $\;\lambda\;$ entonces

$$\lambda v= Av=A^2v=A(\lambda v)=\lambda Av=\lambda^2v$$

Así que

$$(\lambda^2-\lambda)v=0\implies \lambda^2=\lambda\iff \lambda=0,1$$

$\;A\;$ es un cero de $\;x^2-x\;$ lo que significa que este es el polinomio mínimo de la matriz (¿por qué?), y por tanto los dos anteriores son efectivamente valores propios de $\;A\;$

Answer 2

Supongamos que $A$ eran invertibles. Entonces, $$A^2 = A \implies A^2 \cdot A^{-1} = A\cdot A^{-1} \implies A = I,$$ contrario a nuestra hipótesis. Por lo tanto, $A$ no es invertible y por tanto $\det A = 0$ . Como el determinante es el producto de los valores propios, $A$ debe tener $0$ como un valor propio.

Supongamos que $\lambda = 0$ fuera el único valor propio. Entonces $(A-I)v \neq 0$ para todo lo que no sea cero $v$ y por lo tanto $A-I$ es de rango completo. Pero como $A^2=A$ tenemos $(A-I)A = A^2-A = 0$ por lo que cada columna de $A$ está en el espacio nulo de $A-I$ , lo que implica que $A = 0$ lo que contradice nuestra hipótesis.