Me gustaría que me orientaran sobre cómo resolver este problema. Realmente estoy tratando de entenderlo, ¡así que se preferirían pistas y discusiones antes que una solución!
El problema:
Una función $f:S \to S$ se denomina autoinversor si $f(f(x))=x$ por cada $x \in S$ . Un punto $x \in S$ se llama punto fijo de $f$ si $f(x)=x$ .
- Demostrar que, si $f:S \to S$ es una función autoinversora que tiene $k$ puntos fijos, entonces $|S|−k$ está en paz.
Mi razonamiento hasta ahora:
Cuando se hace el mapeo $f:S \to S$ , $f(x)=\frac{1}{x}$ la cardinalidad de $S$ es igual a $2n$ ya que cada elemento de $S$ se asigna a un elemento diferente en $S$ excepto en el caso de un punto fijo, de modo que para cada punto fijo, la cardinalidad es $2n + k$ ? ¿Estoy en el camino correcto? Si es así, ¿cómo debo abordar la demostración de esto?
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Puede ser más fácil si se hace una partición $S$ en subconjuntos de la forma $\big\{x,f(x)\big\}$ .
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@WETutorialSchool , ¿a qué te refieres con partición? ¿Cómo se particiona un conjunto en subconjuntos?
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Una partición de un conjunto $S$ es una colección $\{A_1,A_2,\ldots,A_m\}$ de subconjuntos de $S$ tal que $A_1\cup A_2\cup\ldots \cup A_m=S$ y para $i\ne j$ , $A_i\cap A_j=\emptyset$ . Básicamente, se divide un conjunto $S$ en subconjuntos más pequeños. Por ejemplo, $S=\{1,2,3,4,5\}$ puede dividirse en conjuntos $\{1\},\{2,3\},\{4,5\}$ o en $\{1,3,5\},\{2,4\}$ . En su caso, puede utilizar $f$ a la partición $S$ en los subconjuntos que he mencionado anteriormente.
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El problema es imposible porque si S es infinito y k un número natural |S| - k no es ni impar ni par, conceptos que sólo se aplican a los enteros.