Propiedad de las medidas complejas de Borel con series de Fourier absolutamente convergentes (álgebra de Wiener)

Question

Dejemos que $\mu$ sea una medida compleja de Borel sobre el círculo $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ con $$ \sum_{n \in \mathbb{Z}} \lvert\hat{\mu}(n)\rvert < \infty. $$ ¿Cómo se deduce que $d\mu(x) = f(x) dx$ para $f$ ¿contenido en el círculo?

Supongo que se debe al hecho de que la hipótesis es equivalente a $\mu \ast D_n$ siendo continua y convergente uniformemente, donde $D_n$ el núcleo de Dirichlet. Pero ¿cómo sé que $\mu \ast D_n$ se refiere a $\mu$ de cualquier manera sin resultados de convergencia?

Este es el comienzo de un ejercicio (1.2) del principio de Análisis armónico clásico y multilineal Vol. 1. por Muscalu y Schlag.

En términos más generales, estoy un poco preocupado por el uso de medidas complejas de Borel en declaraciones en las que estoy acostumbrado a ver funciones que son $L^p$ con respecto a alguna medida positiva. Entiendo que están relacionadas a través de Radon-Nikodyn, pero me cuesta pensar en ciertos enunciados: en particular, la convolución de una función continua y una medida compleja de Borel, entre otros. ¿Algún consejo/recomendación de lectura para familiarizarme con el uso intensivo de estas medidas y su interacción con las funciones?

Gracias.

Answer 1

Definir $$f(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty \hat\mu(n)e^{int}.$$ La serie converge uniformemente por lo que $f$ es continua. La convergencia uniforme también muestra que $$\hat f(n)=\hat\mu(n).$$ Así que la unicidad (para medidas complejas) muestra que $\mu=f$ o más cuidadosamente $d\mu=f\,dt$ .

Si no te crees lo de la singularidad por medidas complejas:

Lema: Si $\nu$ es una medida compleja y $\hat\nu(n)=0$ para todos $n$ entonces $\nu=0$ .

Prueba: $\int p\,d\nu=0$ para cada polinomio trigonométrico $p$ . Por lo tanto, por aproximación uniforme $\int \phi\,d\nu=0$ para toda función continua $\phi$ . Por lo tanto, $\nu=0$ (hay que asumir que sabemos algo ).