Lances abiertos en $\mathbb{R}^2$ como unión contable de rectángulos abiertos disjuntos

Question

Desde esta pregunta Me doy cuenta de que existe un conjunto abierto en $\mathbb{R}^2$ es decir no una unión disjunta de rectángulos abiertos. El ejemplo dado es el conjunto de puntos que se encuentran debajo de la línea $y=-x$ .

Sin embargo, no veo cómo se puede demostrar que ese conjunto concreto no es una unión disjunta de rectángulos abiertos. ¿Qué contradicción se puede derivar si ese conjunto fuera una unión disjunta de rectángulos abiertos?

Answer 1

Dejemos que $C$ sea el conjunto en cuestión. Debe quedar claro que $C$ está conectado.

Si $C=\cup_n R_n$ , donde $R_n$ son rectángulos abiertos disjuntos por pares y no vacíos, entonces $C = R_1 \cup (\cup_{n \neq 1} R_n)$ Es decir, $C$ está desconectado, una contradicción.

Answer 2

Por un lado, un disyuntiva La unión de una familia de conjuntos abiertos sólo puede ser conexa si a lo sumo un miembro de la familia es no vacío. El semiplano $\{y < -x\}$ es conexo y no es un rectángulo abierto, por lo que no puede ser la unión disjunta de rectángulos abiertos.

Otra forma de verlo es observar que en una unión disjunta de rectángulos abiertos, ningún punto límite de ningún rectángulo puede estar cubierto. Pues cualquier conjunto abierto que contenga el punto límite debe intersecar el rectángulo del que es punto límite.