Considere un conjunto infinito de ecuaciones en un número infinito de variables, si cada subconjunto finito de ecuaciones tiene una solución, ¿debe tenerla todo el conjunto de ecuaciones?
Cada ecuación contiene un número finito de variables.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Toma $f_n(z) = \sin\left(\frac{2\pi z}{n}\right)$ para $n = 1, 2, \dots$ A continuación, cada $f_n^{-1}(0) = 2\pi n\mathbb{Z}$ por lo que cualquier intersección $f_{n_1}^{-1}(0) \cap \cdots \cap f_{n_r}^{-1}(0)$ es infinito, pero $\bigcap f_n^{-1}(0) = \{0\}$ . Para deshacerse de $0$ Consideremos el sistema \begin{align*} zw &= 1 & f_n(z) &= 0\text{ for $n = 1, 2, \dots$} \end{align*} en $z, w$ .
En esencia, tu pregunta es si una colección de conjuntos $\{U\}$ tal que cualquier intersección finita $U_1\cap \cdots \cap U_r$ es no vacío debe tener $\bigcap U$ no vacío. ("En esencia", de todos modos. Estoy evitando deliberadamente la cuestión de cuándo un conjunto $U_i$ es el conjunto de puntos que satisfacen una "ecuación", cuyos detalles no hemos especificado). Eso es falso en general. Consideremos, de forma similar a la anterior, los conjuntos $2^n \mathbb{Z}\setminus{\{0\}}\subset \mathbb{Z}$ para números enteros $n \geq 1$ .
Por otra parte, su resultado es al menos cierto para un sistema contable de polinomios en una sola variable sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ --- es decir, para un sistema $P_1(z) = 0, P_2(z) = 0, \dots$ para algunos polinomios $P_n$ en una sola variable. Eso es equivalente a la afirmación de que cualquier finito $\{U\}$ con todas las intersecciones finitas $U_1 \cap \cdots \cap U_r$ no vacío tienen $\bigcap U_i$ no es vacío. Etiqueta los conjuntos en cuestión como $U_1, U_2, \dots$ y que $V_n = U_1 \cap \cdots \cap U_n$ . Si $\bigcap U_i = \varnothing$ entonces cada $x\in U_1$ debe admitir unos mínimos $n = n(x)$ con $x\not\in V_n$ . Pero eso implica que $V_m = \varnothing$ para $m = \max n(x)$ contradiciendo la suposición de que todas las intersecciones finitas de las $U_i$ no son vacíos.
