Ciertamente, la sustitución directa en $$ e_k(x_1,...,x_n)=\sum_{\substack{s\,\subseteq\,\{1,...,n\}\\\text{$ s $ has $ k $ elements}}}\prod_{i\in s}x_i $$ es una forma muy ineficiente de calcular los valores de las funciones simétricas sobre algunos números concretos $x_i$ el número $\binom nk$ de sumandos crece muy rápidamente.
Mucho más eficiente es calcular primero las sumas de potencia $$ p_j(x_1,...,x_n)=\sum_{i=1}^nx_i^j $$ y luego usar la fórmula $$ e_k(x_1,...,x_n) = (-1)^k \sum_{\substack{m_1 + 2m_2 + \cdots\, =\, k \\ m_1, m_2,\,\cdots\, \geqslant\, 0}} \frac{(-p_1)^{m_1}}{1^{m_1}m_1!}\frac{(-p_2)^{m_2}}{2^{m_2}m_2!}\cdots $$ Aún así hay tantos sumandos como particiones de $k$ .
Probablemente sean aún más eficientes las fórmulas recurrentes de Newton $$ e_k(x_1,...,x_n)=\frac1k(p_1e_{k-1}-p_2e_{k-2}+\cdots\pm p_{k-1}e_1\mp p_k), $$ pero como esto requiere el cómputo de todas las $e$ 's, aquí ya no estoy seguro de si esto es más eficiente que el anterior.
¿Lo es? ¿Y hay formas más eficientes?
