Problema de encontrar valores regulares del mapa

Question

He encontrado un ejercicio que define $f:S^3\to\mathbb{CP}^1$ por $f(x,y,z,t)=[x+iy:z+it]$ y pidiendo que se demuestre que es suave y que se encuentren sus valores regulares. Demostrar que era suave era bastante sencillo. Luego probé los valores críticos. Empecé tomando el subconjunto $S^3\cap\{x>0\}$ y considerando el gráfico $\phi(x,y,z,t)=(y,z,t)$ cuya inversa es $\phi^{-1}(y,z,t)=(\sqrt{1-y^2-z^2-t^2},y,z,t)$ y el gráfico sobre la proyectiva $\psi(x_0:x_1)=\frac{x_1}{x_0}$ cuyo inverso es, para que conste, $\psi^{-1}(x)=[1:x]$ . A continuación, construí la representación local $\overline{f}$ de $f$ :

que he "descomplejado" porque nunca he tenido que ver con funciones complejas multivariables así que prefiero quedarme en mi dominio y pasar de $\mathbb{C}$ a $\mathbb{R}^2$ . Así que calculé su jacobiano, y tuve que separar sus líneas y transponerlas para que encajara en el margen de la página:

Intenté que Wolfram calculara lo que parecía ser el menor simple de esta matriz, y obtuve este trozo y este trozo, que debían restarse entre sí, pero cuando lo intenté obtuve un error de Wolfram: Wolfram|Alpha no pudo interpretar tu entrada. Así que probé a simplificar la expresión con la proyección estereográfica como gráfico de partida, que al menos me ahorraba las raíces. Ese nuevo gráfico tenía la inversa de $ \phi ^{-1}(a,b,c)=( \frac {-1+z^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2+1}, \frac {2a}{a^2+b^2+c^2+1}, \frac {2b}{a^2+b^2+c^2+1}, \frac {2c}{a^2+b^2+c^2+1}), al menos en mi imitación de La expresión 2D de Wikipedia . La nueva representación local que evalué:

y descomplejado a:

Por cierto, hice estos jacobianos porque la diferencial de la función está representada por ellos, y los puntos críticos están donde la diferencial no es suryectiva, es decir, que la matriz no tiene el máximo rango o en todas partes si el espacio de llegada tiene mayor dimensión que el espacio de partida. Así que otro jacobiano más. En realidad, en este caso pasé directamente a calcular un menor, y obtuve este trozo menos el producto de 1 y 2, producto que no se computaría. Así que dije: es hora de preguntar en Math SX. Pero antes de hacerlo, recordé un comentario hecho en clase.

Nota: Dejemos que $f:X\subseteq\Omega\to\mathbb{R}^k$ , donde $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$ está abierto y $X$ se da como la contraimagen $g^{-1}(a)$ de un valor regular $a$ a través de un $\mathcal{C}^\infty$ mapa $g:\Omega\to\mathbb{R}^m$ . Sea $F$ sea una función sobre $\Omega$ tal que $F|_X=f$ . Sea $h=(F,g):\mathbb{R}^{n+m}\to\mathbb{R}^k$ . Resulta que los puntos críticos de $f$ son los de $h$ perteneciente a $X$ es decir $\mathrm{Crit}(f)=\mathrm{Crit}(h)\cap X$ .

Ahora bien, no recordaba esto con esta precisión, así que aunque no estaba seguro de poder aplicarlo aquí lo intenté, y pasé a considerar $g(x,y,z,t)=x^2+y^2+z^2+t^2$ para que $S^3=g^{-1}(1)$ , evidentemente un valor regular, y $h(x,y,z,t)=([x+iy:z+it],x^2+y^2+z^2+t^2)$ un mapa de $\mathbb{R}^4$ a $\mathbb{C}\mathbb{P}^1\times\mathbb{R}$ . Tomé el gráfico $\psi$ de nuevo y calculamos y descomplejizamos la representación local de $h$ :

Luego evalué su jacobiano para:

Tomé lo que parecía ser el menor más manejable y lo evalué:

Configuración $y=0$ , descubrí que esto sería cero si $z=0$ o $t=0$ Así que encontré algunos puntos críticos de $h$ en $S^3$ pero luego intenté $x=0$ y los cálculos eran complejos, así que probé la solución general, y aquí está. Entonces, ¿hay una manera más inteligente y menos computacional de hacer esto?

Answer 1

Te mereces un premio a la perseverancia :) En general, he descubierto que la mejor manera de trabajar con mapas $f\colon M\to \Bbb P^n$ (si $\Bbb CP^n$ o $\Bbb RP^n$ o, de hecho, $S^n$ ) es pensar en el mapa levantado $\tilde f\colon M\to \Bbb C^{n+1}$ o $\Bbb R^{n+1}$ . (Véase también mi respuesta en Mostrar diferencial de $f:S^{m}\times S^{n}\to S^{m+n+mn}$ es inyectiva .)

En su caso, dejar que $\pi\colon\Bbb C^2\to\Bbb CP^1$ , $\pi(w_1,w_2)=[w_1,w_2]$ elegimos $\tilde f(x,y,z,t) = (x+iy,z+it)$ que es en realidad el mapa de inclusión de $S^3$ en $\Bbb C^2$ . Tenga en cuenta que $f = \pi\circ\tilde f$ y así $df_p=d\pi_{\tilde f(p)}\circ d\tilde f_p$ no es proyectiva si y sólo si $\ker d\pi_{\tilde f(p)}\subset \text{im}\,d\tilde f_p = T_{\tilde f(p)}S^3$ . Pero deberías ser capaz de ver fácilmente que en cualquier punto $w\in S^3$ , $\ker d\pi_w\cap T_wS^3$ es sólo $1$ -la línea tangente a la circunferencia obtenida por la intersección de $S^3$ y la línea compleja abarcada por $w$ en $\Bbb C^2$ .