$$\int \sec^{2n+1}(x)\ \text{d}x $$ Esto no es una tarea.
Me gustaría que alguien sugiriera una solución para esto, sin utilizar ninguna fórmula de recursión.
Respuesta
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En primer lugar, sustituir con $$ u=tanx $$
$$ I=\int sec^{2n+1}xdx=\int (u^{2}+1)^{n-\frac{1}{2}}du, n \in \mathbb{N} $$
A continuación, realice una segunda sustitución $$ u=sinh\theta $$
$$ \int (u^{2}+1)^{n-\frac{1}{2}}du = \int cosh^{2n}\theta d\theta $$
Ahora viene el gran paso. Se expande la función cosh, ya sea convirtiéndola en forma exponencial, o expandiendo la función cos y luego utilizando la regla de Osborne. Explicaré este punto más adelante en el post.
$$ cosh^{2n}\theta = \frac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n} +\frac{1}{2^{2n-1}}\sum_{k=1}^{n}\ \binom{2n}{n-k}cosh2k\theta $$
Ahora podemos integrar término por término.
$$ I=\int \frac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n} +\frac{1}{2^{2n-1}}\sum_{k=1}^{n}\ \binom{2n}{n-k}cosh2k\theta d\theta $$
$$ = \frac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n}\theta +\frac{1}{2^{2n}}\sum_{k=1}^{n}\binom{2n}{n-k}\frac{sinh2k\theta }{k}+C $$
Ahora tenemos la integral en términos de theta pero necesitamos convertirla de nuevo a x. Recordemos:
$$ u=tanx=sinh\theta = \frac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2}$$
$$ \theta = ln|tanx + \sqrt{tan^{2}x+1}| = ln|tanx + secx| $$
Para convertir el sinh, ten en cuenta lo siguiente:
$$ sinh(ln\alpha ) = \frac{\alpha - \alpha^{-1} }{2} $$
Finalmente, podemos escribir la respuesta:
$$ I = \frac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n}ln|tanx + secx| +\frac{1}{2^{2n+1}}\sum_{k=1}^{n}\binom{2n}{n-k}\frac{(tanx + secx)^{2k}+(tanx + secx)^{-2k}}{k}+C $$
He comprobado esta solución y funciona para n=0,1 y 2. Digamos que si se intenta diferenciar la forma cerrada para n=1 para obtener $$sec^3(x)$$ con Wolfram Alpha, te dará una gran función trigonométrica que al simplificarla da sec^3(x). También puedes probar con algunos límites para comprobar que funciona.
Es realmente enfermizo, que se pueda dar cualquier n, digamos n=15, correspondiente a la potencia 31 de sec, y entonces se pueda simplemente escribir su integral indefinida en menos de 5 minutos aproximadamente.
Todavía tengo que explicar la expansión del cosh.
Define lo siguiente:
$$ z^{n}=cosn\theta+isinn\theta $$ $$ z^{-n}=cosn\theta-isinn\theta $$
Entonces,
$$ z^{n}+z^{-n} = 2cosn\theta $$
Ahora considere lo siguiente:
$$ (z+z^{-1})^{2n} = 2^{2n}cos^{2n}\theta = \binom{2n}{n}+\sum_{k=1}^{n}\ \binom{2n}{n-k}(z^{2k}+z^{-2k})= \binom{2n}{n}+\sum_{k=1}^{n}\ \binom{2n}{n-k}2cosh2k\theta$$
Por lo tanto: $$ cos^{2n}\theta = \frac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n} +\frac{1}{2^{2n-1}}\sum_{k=1}^{n}\ \binom{2n}{n-k}cos2k\theta $$
Ahora aplica la regla de Osborne (regla para convertir funciones trigonométricas en hiperbólicas y viceversa - si hay un producto de senos, añade un negativo para convertir). Como no hay productos de senos, esta fórmula funciona exactamente igual para el cos hiperbólico. Así llegamos a lo que queríamos:
$$ cosh^{2n}\theta = \frac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n} +\frac{1}{2^{2n-1}}\sum_{k=1}^{n}\ \binom{2n}{n-k}cosh2k\theta $$
