Encontrar la traza de la matriz

Question

Si $K^T=K$ , $K^3=K$ , $K1=0$ y $K\left[\begin{matrix}1\\2 \\-3\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1\\2 \\-3\end{matrix}\right]$ ,

cómo puedo encontrar el rastro de $K$ y el determinante de $K$ ?

Creo que para determinar $K$ ya que $K^3-K=(K^2-I)K=0$ entonces $K^2=I$ desde $K$ es distinto de cero. Entonces esto implica $|K|^2=1$ implica $|K|=\pm 1$ donde las dos líneas | | denotan el determinante.

Pero no estoy seguro de si $tr(K^2)=tr(I)=3$ ?

Answer 1

El polinomio $x^3-x=x(x^2-1)$ aniquila la matriz $K$ que es diagonalizable ya que es real (no está claro en la hipótesis) simétrico o ya que el polinomio tiene raíces simples, además $0$ y $1$ son valores propios de $K$ desde $K1=0$ y como $$K\left[\begin{matrix}1\\2 \\-3\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1\\2 \\-3\end{matrix}\right]$$ ahora seguramente como el determinante es el producto de los valores propios tenemos $\det K=0$ y para el rastro: hay 3 posibilidades:

• si $-1$ es un valor propio de $K$ entonces el rastro es $0$
• si $0$ es un valor propio con multiplicidad $2$ el rastro es $1$
• si $1$ es un valor propio con multiplicidad $2$ el rastro es $2$

Answer 2

$K$ tiene un núcleo no trivial por lo que no es uno a uno. ¿Qué nos dice esto sobre su determinante? Para determinar la traza, puedes utilizar la propiedad de que la traza es la suma de los valores propios.

Answer 3

Hay tres matrices que satisfacen las condiciones dadas.

$K^3=K$ muestra que todos los valores propios son 0 o satisfacen $\lambda^2 = 1$ . Desde $K$ es simétrica (¿y presumiblemente real?) tenemos $\lambda \in \{-1,0,1\}$ .

Desde $K e = 0$ vemos que $K$ es singular, por lo que $\det K = 0$ . Se nos da que un valor propio es 1, por lo que sólo tenemos que determinar el otro valor propio para terminar.

Dejemos que $u_1 = {1 \over \sqrt{3}} (1,1,1)^T$ , $u_2 = {1\over \sqrt{14}} (1, 2 , -3)^T$ y $u_3 = u_1 \times u_2 = {1 \over \sqrt{42}} (-5,4,1)^T$ . Es fácil comprobar que son ortonormales, $Ku_1 = 0$ , $Ku_2 = u_2$ y, como $K$ es simétrica, tenemos $K u _3 = \lambda u_3$ para algunos $\lambda \in \{-1,0,1\}$ .

Por lo tanto, podemos escribir $K = u_2 u_2^T + \lambda u_3 u_3^T$ . Es fácil comprobar que para cualquier $\lambda \in \{-1,0,1\}$ que $K$ es simétrica, $K^3 = u_2 u_2^T + \lambda^3 u_3 u_3^T = K$ y que las otras dos condiciones también se cumplen. Por lo tanto, no tenemos suficiente información para determinar completamente $K$ .

Los valores posibles para la traza son $\operatorname{tr} K = 0 + 1 + \lambda$ Es decir $\{0, 1, 2\}$ .