Sea S = $\{(x, y, z) \;\text{which spans}\;\Bbb R^3\;|\; 2x = 3z \;,\;\; y = -z\}$

Question

No encuentro ningún ejemplo similar en mi libro de texto sobre esto. Supongo que a partir de esto puedo tener $x = 3/2z$ y $y = -z$ entonces tienen el conjunto $\{3/2z, -z, z\}$ pero necesito demostrar que es un subespacio de $\Bbb R^3$ . Así que estoy pensando en tener $2x - 3z = 0$ y $y + z = 0$ pero entonces, ¿qué pasa con mi tercer vector? Cualquier pista o sugerencia sería genial. Gracias.

Answer 1

No creo que se extienda $\mathbb{R^3}$ porque este subespacio es de dimensión 1 mientras que $\mathbb{R^3}$ es de dimensión 3.

Answer 2

Si quieres demostrar que es un subespacio, sólo tienes que comprobar que es un subconjunto y luego comprobar que cumple las condiciones para ser un espacio vectorial, la mayoría de las cuales se heredan. No se consigue que un conjunto de vectores linealmente independientes, con menos de tres vectores en su conjunto, abarque $\mathbb{R}^3$ . Algunos lo tomarían como la definición de la dimensión como el número de elementos en el conjunto más pequeño linealmente independiente, por lo tanto si su conjunto funcionó entonces la dimensión de $\mathbb{R}^3 = 1$ ¡!

Answer 3

$(x,y,z)=(v_1,v_2,v_3)\in S$ ni siquiera es un elemento de $\mathbb R^3$ porque es un triple de vectores, por lo que $S$ no puede ser un subespacio de $\mathbb R^3$ . Pero como ya ha mencionado Abhra Abir Kundu, no existe un triple que abarque $\mathbb R^3$ y satisface las condiciones dadas.