¿Hay siempre un primo que tenga sólo un primo por encima?

Question

Dado un campo numérico $K / \Bbb Q$ ¿podemos encontrar un primo $p \in \Bbb Z$ que sólo tiene un primo de $K$ por encima de ella (por ejemplo $p$ es inerte o $p$ está totalmente ramificado)?

Por ejemplo, si $K$ es Galois sobre $\Bbb Q$ con grupo de Galois no cíclico, entonces ningún primo de $\Bbb Q$ es inerte en $K$ . Pero quizás podríamos tener primos totalmente ramificados, o una factorización como $p O_K = P^s$ con $1 \leq s \leq [K:\Bbb Q]$ . (¿Qué pasa si asumimos $K/\Bbb Q$ para ser Galois)

Gracias.

Answer 1

Consideremos el campo ciclotómico $K=\Bbb Q(\zeta_8)$ $\mathcal O_K = \Bbb Z[\zeta_8]$ , éste tiene un grupo de Galois no cíclico, por lo que ningún primo es inerte en $K$ . El único primo que se ramifica en $K$ es $2$ pero $2$ es totalmente ramificado, por lo que no es un contraejemplo todavía.

Ahora considere $L=\Bbb Q(\zeta_7)$ , donde $7$ es el único primo ramificado y hay dos primos diferentes por encima de $(2)$ y a la inversa, hay dos primos distintos por encima de $(7)$ en $K$ . (Esto se debe a que el $8$ el polinomio ciclotómico $x^4+1$ se divide como $x^4+1=(x^2+3x+1)(x^2+4x+1) \pmod{7}$ y el $7$ el polinomio ciclotómico $x^6+x^5+x^4+x^3+x^3+x^2+x+1$ se divide como $x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=(x^3+x+1)(x^3+x^2+1) \pmod{2}$ )

Así que si tomamos el campo compuesto $K \cdot L = \Bbb Q(\zeta_{56})$ obtenemos una extensión tal que hay al menos dos primos por encima de cada primo en $\Bbb Z$ . $K \cdot L$ también es Galois.

Answer 2

Si sólo hay un primo de $K$ por encima de $p$ entonces $\mathrm{Gal}(K/\mathbb Q)$ es isomorfo al grupo de descomposición de $p$ . Pero el grupo de descomposición es soluble (los grupos de ramificación superiores son una serie de composición).

En particular, cualquier extensión con grupo de Galois no resoluble funcionará.