Es el conjunto de números naturales $\mathbb{N}$ ¿Abierto, cerrado o ninguno?

Question

Me imaginé que alguien habría hecho la pregunta aquí, pero no la encontré.

Sé que no está abierto, porque $\forall n \in \mathbb{N}$ , $V_\epsilon (n) \notin \mathbb{N}$ . En otras palabras, se compone de un montón de puntos aislados.

Pero sigo leyendo que está cerrado, y me cuesta pensar por qué, salvo que quizás el complemento esté abierto y por tanto $\mathbb{N}$ ¿está cerrado? ¿O está cerrado de forma vacía como $\mathbb{Z}$ contiene todos sus puntos límite porque no tiene puntos límite.

Answer 1

Se cierra de forma vacía.

Otro razonamiento puede ser el siguiente: Si $x \in \mathbb{N}^c$ , entonces podemos dejar que $r = \min(x - \lfloor x \rfloor, \lceil x \rceil - x)$ entonces $B(x;r)$ está contenida en $\mathbb{N}^c$ y por lo tanto $\mathbb{N}^c$ está abierto.

Answer 2

$N$ está cerrado por uno o ambos motivos.(1).Cada intervalo $(n-1,n)$ está abierto, y $(-\infty,0)$ está abierto, por lo que $\mathcal R\backslash N=(-\infty,0)\cup (\cup_{n\in N}(n-1,n)$ una unión de conjuntos abiertos, es abierta. (2) Un subconjunto de $\mathcal R$ sin puntos límite es un conjunto cerrado. Nótese que la sentencia $\forall x\;(( x$ es un punto límite de $S)\implies x\in S)$ significa "No $x$ puede ser un punto límite de $S$ sin pertenecer a $S$ ", lo cual es ciertamente cierto si no hay puntos límite de $S$ .

Answer 3

1. El conjunto $\mathbb{N}^c$ puede escribirse como una unión de intervalos abiertos: $(-\infty, 1), (1, 2), (2, 3), \dots, (n, n+1), \dots$ .
2. Cada intervalo abierto es un conjunto abierto.
3. La unión arbitraria de conjuntos abiertos es abierta.
4. Así, $\mathbb{N}^c$ está abierto.
5. Así, $\mathbb{N}$ está cerrado.

Answer 4

Dejemos que $\mathbb{N}$ sea el conjunto de los números naturales. $\overline{\mathbb{N} }=\mathbb{N} \cup \partial \mathbb{N} .$ Claramente, $\partial{N}=\emptyset .$ Por lo tanto, $\overline{\mathbb N}=N .$ Esto significa que el conjunto de números naturales es cerrado en la topología habitual en $\mathbb{R}.$