Supongamos que $G$ es un grupo finito tal que todo subgrupo maximal de $G$ es normal en $G$ y para $H \leq G$ tenemos que $HG’=G$ y luego demostrar que $H=G$ .

Question

Supongamos que $G$ es un grupo finito tal que todo subgrupo maximal de $G$ es normal en $G$ y para $H \leq G$ tenemos que $HG’=G$ y luego demostrar que $H=G$ .

Dónde $G^\prime$ es el subgrupo conmutador (también conocido como subgrupo derivado) de $G$ definido como $$G’=\langle \left\{\left[a,b\right]:a,b\in\ G\right\}\rangle.$$ Sé que Nilpotente si cada subgrupo maximal es normal, pero no estoy seguro de si eso es útil. Estaría bien que alguien me ayudara,gracias de antemano.

Answer 1

Si $M$ es máxima y, por tanto, normal, entonces $[G:M]=p$ es primo (ya que $G/M$ no tiene subgrupos propios no triviales y por tanto es cíclico de orden primo), y por tanto $G/M$ es abeliano. Por lo tanto, $G'\subseteq M$ . Así, $G'$ está contenida en cada subgrupo maximal.

Si $H\neq G$ , entonces dejemos que $M$ sea un subgrupo máximo que contenga $H$ . Entonces $HG'\leq MG' = M\neq G$ . Por lo tanto, si $HG'=G$ entonces $H=G$ .