La prueba de la tangente del círculo unitario viene dada por la ecuación $z+a^2\overline{z}= 2a$

Question

Dejemos que $a$ y $b$ sean números complejos en el círculo unitario, es decir $|a|=|b|=1$

(a) Demuestre que la ecuación de la tangente al círculo unitario en $a$ está dada por:

$z+a^2\overline{z}= 2a$ .

(b) Utilice el resultado de la parte (a) para demostrar que la intersección de las tangentes al círculo unitario en $a$ y $b$ es:

$\frac{2ab}{a+b}$ .

Mis pensamientos: Dado que el punto $a$ está en el círculo unitario sabemos que $|a|=1$ . Además, sabemos que desde el centro del círculo hasta $a$ será perpendicular con la tangente. La fórmula general para demostrar que dos líneas son perpendiculares es: $(z_3-z_1)=e^{i\theta}(z_2-z_1)$ para algunos números complejos $z_1$ , $z_2$ y $z_3$ .

Podríamos utilizar esta ecuación para encontrar un punto de la recta que sea tangente a la circunferencia y luego encontrar la pendiente de la ecuación. Pero, no entiendo muy bien cómo esto tomaría la forma de $z+a^2\overline{z}= 2a$ ? Por lo tanto, no puedo continuar con (a) ni empezar con (b). Se agradece cualquier sugerencia o ayuda.

Answer 1

Con $z = x + i y$ y $a = u + i v$ requeriríamos $$ (z-a) \bot a \iff \\ 0 = (x-u) u + (y-v) v = \mbox{Re}(a (\overline{{z-a}})) = \frac{a(\overline{z-a}) + \bar{a} (z-a)}{2} \iff \\ 0 = a^2 (\bar{z}-\bar{a}) + a \bar{a} (z - a) = a^2\bar{z}- a(a\bar{a})+ z - a \iff \\ a^2\bar{z} + z = 2a $$ porque $a\bar{a} = |a|^2 = 1$ .

Answer 2

Ahora como la línea es tangente , la línea que une $a$ al centro es perpendicular a la tangente, por lo tanto $$\frac{z-a}{a}=ki$$ $$z=a(1+ki)$$
$$\overline{z}=\overline{a}(1-ki)$$ $$a^2\overline{z}=a^2*\overline{a}(1-ki)=a*1*(1-ki)$$ así $$z+a^2\overline{z}=2a$$

Answer 3

La parte (A) se hace en otra respuesta.

(B) $$z_1=a(1+it_1)$$$$ z_2=b(1+it_2) $$at $ P $, they meet. Then $$ t_1=-t_2$$ de aquí se puede obtener la respuesta.

Answer 4

(a) Como conocemos la recta tangente y el radio desde el origen hasta $a$ son perpendiculares, podemos decir $$z-a = a(e^{\pi i/2}k) = aki$$ donde $k$ es un número entero. Manipulando la ecuación obtenemos: \begin {align*} z-a &= aki \\ z &= a(1+ki) \\ \overline {z} &= \overline {a}(1-ki) \\ a^2 \overline {z} &= a^2 \overline {a}(1-ki) \end {align*} Simplifiquemos el lado derecho: $$a^2\overline{a}(1-ki) = a\cdot a\overline{a}(1-ki) = a\cdot |a|^2(1-ki) = a(1-ki)$$ Ahora podemos continuar: \begin {align*} a^2 \overline {z} &= a^2 \overline {a}(1-ki) \\ a^2 \overline {z} &= a(1-ki) \\ a^2 \overline {z} &= a-aki \\ a^2 \overline {z} &= 2a - a - aki \\ a^2 \overline {z} &= 2a - z \\ z+a^2 \overline {z} &= 2a \end {align*}

(b) Establezcamos $w$ como punto de intersección. Usando nuestra solución de la parte a, podemos decir: $$w+a^2\overline{w}-2a=0=w+b^2\overline{w}-2b$$ Manipulemos esta ecuación: \begin {align*} w+a^2 \overline {w}-2a &= w+b^2 \overline {w}-2b \\ a^2 \overline {w}-b^2 \overline {w} &= 2a-2b \\ \overline {w}(a^2-b^2) & = 2(a-b) \\ \overline {w}(a+b) &= 2 \\ \overline {w} &= \frac {2}{a+b} \\ w &= \frac {2}{ \overline {a}+ \overline {b}} \end {align*} Demos un paso atrás y pensemos $\overline{a}$ y $\overline{b}$ \begin {align*} a \overline {a} = |a|^2 \\ a \overline {a} = 1 \\ \overline {a} = \frac {1}{a} \end {align*} Usando la misma lógica, también podemos derivar $\overline{b} = \frac{1}{b}$ Ahora vamos a sustituir estos valores: \begin {align*} w &= \frac {2}{ \overline {a}+ \overline {b}} \\ &= \frac {2}{ \frac {1}{a}+ \frac {1}{b}} \\ &= \frac {2}{ \frac {a+b}{ab}} \\ &= \frac {2ab}{a+b} \end {align*}