Me refiero a una pregunta (y respuesta) dada en los Problemas de Berkeley que no he entendido bien.
$S$ es un subconjunto de $\mathbb{R}$ . $C$ es el conjunto de puntos $x$ en $R$ tal que para cada $\delta > 0$ , ( $x-\delta, x+\delta$ ) contiene incontables puntos de $S$ . Demostrar que $S \backslash C$ es contable (llamo a lo finito también como contable).
Mi intento:
Sólo llegué a probar que $C$ está contenida en $S^{\prime}$ como todo conjunto abierto básico alrededor de cualquier punto $x$ de $C$ contiene infinitos puntos de $S$ que no sea $x$ .
Mi interpretación de la respuesta de Berkeley:(puede no ser correcta ya que no he podido entenderla completamente).
En la respuesta, dicen, supongamos $y$ es un punto de $S\backslash C$ entonces claramente $\exists$ $\delta > 0$ tal que ( $x-\delta, x+\delta$ ) (disjunta de $C$ ) sólo contiene un número contable de puntos de $S$ . Por densidad de $Q$ en $R$ existe un intervalo de este tipo con puntos finales racionales. ¿Por qué es esto cierto? Creo que deberían haber escrito que tales intervalos sólo pueden tener puntos finales racionales.
A continuación, proceden a decir que, puesto que sólo existen tantos intervalos con puntos finales racionales, $S\backslash C$ sólo puede contener un número contable de puntos de $R$ ya que sólo hay una unión contable de un número contable de puntos de $S$ . Por favor, ayuda.
