Esta pregunta puede ser fácil pero no soy capaz de solucionarla.
¿Cómo es el polinomio $f(x,y)=x^2-2y^2$ irreducible sobre $\mathbb{Q}[x,y]$ ?
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Kf-Sansoo
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Si $x^2 - 2y^2 = (ax + by)(cx + dy)$ para $a, b, c, d \in \mathbb{Z[x,y]}$ entonces:
$ac = 1$ , $ad + bc = 0$ y $bd = -2$ . Así que: $b = 2, d = -1$ o $b = -2, d = 1$ o $b = -1, d = 2$ y $b = 1, d = -2$ . Pero $a = c = 1$ o $a = c = -1$ . Cualquiera de estos rendimientos: $b + d = 0$ pero esto no puede suceder. Así que se obtiene la irreductibilidad de $f(x,y)$ en $\mathbb{Z[x,y]}$ pero esto implica irreducibilidad sobre $\mathbb{Q[x,y]}$
Dejemos que $R= \mathbb{Q}[y].$ Tenga en cuenta que $\mathbb{Q}[x,y]$ es canónicamente isomorfo a $R[x] = (\mathbb{Q}[y])[x],$ y que $R$ es un dominio de factorización único.
Quieres mostrar $x^2 - 2y^2$ es irreducible en $R[x].$ Los coeficientes de este polinomio son $1$ y $-2y^2.$ Como el máximo común divisor de los coeficientes es $1,$ el polinomio es primitivo y se aplica el lema de Gauss. Éste establece que $x^2-2y^2$ es irreducible en $R[x]$ si y sólo si es irreducible en $(\text{Frac}(R))[x],$ donde $\text{Frac}(R)$ es el campo de fracciones de $R.$
Un polinomio cuadrático con coeficientes en un campo es reducible si y sólo si tiene una raíz, por lo que su polinomio es reducible en $(\text{Frac}(R))[x]$ si y sólo si existe una función racional $g(y)\in \mathbb{Q}(y)$ tal que $g(y)^2 = 2y^2.$
Si existe tal $g,$ escribirlo como $g(y) = \dfrac{a(y)}{b(y)}$ donde $a(y),b(y)\in \mathbb{Q}[y]$ y no tienen factores comunes. Entonces tenemos la siguiente igualdad en el anillo $\mathbb{Q}[y]$ : $$ a(y)^2 = 2y^2 b(y)^2.$$
Los coeficientes de $a$ y $b$ son números racionales. Si despejamos los denominadores de ambos lados obtenemos una igualdad de la forma $$ \tilde{a}(y)^2 = 2 y^2 \tilde{b}(y)^2$$ donde $\tilde{a},\tilde{b}\in \mathbb{Z}[y],$ que es un UFD. Ahora, observe que la potencia de $2$ en la factorización primaria de la izquierda es par, mientras que en la derecha es impar. Por lo tanto, tenemos una contradicción y por lo tanto tal $g(y)$ existe. Por lo tanto, $f$ es irreducible en $(\text{Frac}(R))[x],$ y así $x^2-2y^2$ es irreducible en $R[x] = \mathbb{Q}[x,y].$
