Resolver $(z+ \bar{z}=|z^2+1|)$

Question

Resuelve esta ecuación: $$z+ \bar{z}=|z^2+1|$$

He probado lo siguiente. $$x+iy+x-iy=|z^2+1|$$ $$2x=|z^2+1|$$ $$x=(|z^2+1|)/2$$ y llegué a un callejón sin salida.

¿Cómo puedo proceder?

Answer 1

En lugar de dividir en partes reales e imaginarias, también se puede elevar al cuadrado la ecuación original y obtener $$ (z+\bar z)^2 = (z^2+1)\overline{(z^2+1)} = (z^2+1)(\bar z^2+1) $$ (donde el segundo signo de igualdad se debe a que la conjugación es un isomorfismo).

Después de multiplicar, el $z^2$ y $\bar z^2$ términos se anulan y nos quedamos con $$ (z\bar z)^2 - 2z\bar z + 1 = 0 $$ que factores como $$ (z\bar z-1)^2 = 0 $$

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Aquí hay un diagrama que muestra geométricamente que la ecuación es efectivamente cierta en la mitad derecha del círculo unitario. Los tres triángulos rectos congruentes muestran que la distancia a $z^2+1$ es el doble de la parte real de $z$ .

Answer 2

Consejos : $$z^2+1=(x+iy)^2+1=(x^2-y^2+1)+i(2xy)$$ $$|a+ib|^2=a^2+b^2$$