Dejemos que $a_n=\frac {(n+1)^{100}}{e^\sqrt n} $ para $ n\ge 1$ entonces la secuencia $(a_n)_n$ es ? convergente?

Question

Estoy encontrando $$lim_{n\to \infty} a_n=\frac {(n+1)^{100}}{e^\sqrt n} $$ aplicando la regla de L'hospital $\frac {200(n+1)^{99}\sqrt n}{{e^\sqrt n}} $ y aplicarlo no lo resuelve porque siempre dará $\infty/\infty$ básicamente quiero comprobar que esta serie es convergente.

Answer 1

Una pista:

$$e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$$

Por lo tanto, $e^x \geq \frac{x^{300}}{300!}$

Ahora utilice este hecho con $x = \sqrt{n}$ .

Nótese que la desigualdad anterior nos da el hecho de que $$\lim_{x \to \infty} e^{-x} x^n = 0$$ para cualquier exponente $n$ .

Answer 2

Se puede considerar ln $(a_n)$ Esto es convergente con ${-\infty}$ Así que la secuencia es convergente a $0$