Comprobación de pruebas: Si $a, b, c$ es un sistema de vectores linealmente independiente, es el sistema $a+b+c, a+b, a$ ¿depende linealmente?

Question

Este es mi intento de responder a esta pregunta. Agradecería cualquier comentario.

Este sistema de vectores es linealmente independiente. Supongamos, por el contrario, que el sistema es linealmente dependiente, es decir, $\lambda_1 (a+b+c) + \lambda_2 (a+b) + \lambda_3 a = 0$ implica que al menos uno de los coeficientes es distinto de cero, digamos $\lambda_3 \neq 0.$ Tenga en cuenta que $\lambda_3 a = (-\lambda_1)(a+b+c) + (-\lambda_2)(a+b)$ . Como el sistema de vectores $a, b, c$ es linealmente independiente, las sumas $a+b+c$ y $a+b$ son ambos distintos de cero. Además, como $\lambda_3 \neq 0,$ se deduce que al menos $\lambda_1$ o $\lambda_2$ tiene que ser distinto de cero, ya que si ambos fueran iguales a cero, entonces tendríamos $\lambda_3 a = 0$ y así $\lambda_3 = 0,$ una contradicción; por lo tanto, suponga $\lambda_1 \neq 0.$ Por lo tanto, ya que $(-\lambda_2)(a+b) = \lambda_3 a + \lambda_1(a+b+c) \neq 0,$ está claro que $\lambda_2 \neq 0.$ Pero esto lleva al absurdo ya que $\lambda_1,\lambda_2, \lambda_3 \neq 0$ implica que $\lambda_1 (a+b+c) + \lambda_2 (a+b) + \lambda_3 a \neq 0$ . Por lo tanto, recuperamos nuestra suposición de que el sistema de vectores dado es linealmente dependiente, y concluimos que el sistema debe ser linealmente independiente.

Answer 1

Es un poco más fácil ver lo que está pasando si se miran las cosas desde una perspectiva ligeramente diferente.

$$\lambda_1 (a+b+c) + \lambda_2 (a+b) + \lambda_3 a = 0 \\ \Rightarrow (\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)a + (\lambda_1+\lambda_2)b +\lambda_1 c=0 \\ \Rightarrow \lambda_1 =0 \Rightarrow \lambda_2=0 \Rightarrow \lambda_3 =0. $$

La segunda implicación es cierta porque $\{a, b, c \}$ fuerzas linealmente independientes el coeficiente de $c$ para ser $0$ . Una vez que lo sepas, $\lambda_2=0$ porque el coeficiente de $b$ debe ser $0$ , y de forma similar $\lambda_3=0$ .

Un buen enfoque general es recoger los coeficientes de su conjunto linealmente independiente y luego observar que cada uno de ellos debe ser cero.

Answer 2

$\lambda_1 a + \lambda_2 (a+b) + \lambda_(a+b+c) = (\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3) a + (\lambda_2+\lambda_3) b + \lambda_3 c$

Como $a,b,c$ son linealmente independientes:
$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3 = 0\\ \lambda_2+\lambda_3 = 0\\ \lambda_3 = 0$

Un enfoque completamente diferente:

Si a,b,c son linealmente independientes, entonces la matriz [a,b,c] con a,b,c como vectores columna tiene un determinante distinto de cero.

$[a,b,c]\begin{bmatrix} 1&1&1\\&1&1\\&&1\end{bmatrix} = [a,a+b,a+b+c]$

$\det \begin{bmatrix} 1&1&1\\&1&1\\&&1\end{bmatrix} = 1$

$\det [a,a+b,a+b+c] = \det [a,b,c]$

$[a,a+b,a+b+c]$ no esigular y $a,a+b,a+b+c$ son linealmente independientes.