Operación complicada con números complejos

Question

Considere la siguiente cadena de ecuaciones, donde $n \in \mathbb{Z}, n \geq 3$ :

$$ \mathbb{i}^{-n}\cdot 2^{n/2} = (\sqrt{-1})^{-n}\cdot 2^{n/2} =(-1)^{-n/2}\cdot 2^{n/2} = \frac{1}{(-1)^{n/2}} \cdot 2^{n/2} \, \mathrm{.} $$

Por lo que sé, todas ellas son ciertas. Sin embargo, lo siguiente no siempre es cierto, según Mathematica:

$$ \frac{1}{(-1)^{n/2}} \cdot 2^{n/2} = \left( \frac{2}{-1} \right)^{n/2} \, \mathrm{.} $$

¿Por qué no?

No es una pregunta difícil, supongo, pero no veo por qué la última ecuación es verdadera o falsa dependiendo del valor de $n$ .

Por ejemplo, para $n=5$ :

$$ \frac{2^{5/2}}{(-1)^{5/2}}=-\left(-\frac{2}{1}\right)^{5/2} \, \mathrm{,} $$

mientras que, para $n=6$ :

$$ \frac{2^{6/2}}{(-1)^{6/2}}= \left(-\frac{2}{1}\right)^{6/2} \, \mathrm{.} $$

Pensé que la equivalencia

$$\frac{a^m}{b^m} = \left( \frac{a}{b} \right)^m $$

era universalmente cierto, pero parece que sólo funciona con números reales?

Answer 1

$\sqrt{xy}=\sqrt{x}\sqrt{y}$ sólo se aplica cuando $x,y$ son números positivos. Por lo tanto, se deduce que $(\sqrt{xy})^n=(\sqrt{x}\sqrt{y})^n$ si y sólo si $x,y$ son números positivos. Si no es así, no se puede hacer esta afirmación.

La equivalencia de $\frac{1}{{(-1)}^\frac{n}{2}}2^{n/2}=(\frac{2}{-1})^{n/2}$ no se puede indicar aquí porque $-1$ es negativo.

Así que si $n$ es par, entonces $\frac{n}{2}$ es un número entero y se evita el problema de sacar la raíz cuadrada. Sin embargo, si no es así, la igualdad no se mantendrá.

Answer 2

Como (probablemente) sabes, cuando tomas un número complejo $z$ y elevar a un poder real $s$ : $w=z^s$ se obtiene un número complejo $w$ que, en forma polar tiene $|w|=|z|^s$ y $\angle w= s \angle z$ .
Pero el ángulo $s \angle z$ se reducen entonces en módulo $2\pi$ .
Esto significa que, al invertir la operación, hay diferentes valores de $z$ para lo cual $z^s=w\; \to \; z=w^{1/s}$ es decir $z= |w|^{1/s} \exp(arg(w)/s + i 2k\pi/s)$ .
Tomando sólo uno de ellos, el valor principal que es el valor programado por defecto en los distintos CAS, no permite hacer más "manipulaciones" si no se comprueban cuidadosamente las condiciones: así el principal raíz de un producto bien podría no ser el producto de la principal raíces de los términos simples.

Lea por ejemplo este artículo de Wikipedia .

En particular $\sqrt{-1}= \pm i$ Así que $i=\sqrt{-1}$ es una de las principales raíces.

Pero, tomando sólo el valor principal conduce a incongruencias: $$ 1 = \sqrt 1 = \sqrt {\left( { - 1} \right)\left( { - 1} \right)} = \left( {\left( { - 1} \right)^{\,2} } \right)^{\,1/2} \quad \ne \quad \sqrt {\left( { - 1} \right)} \sqrt {\left( { - 1} \right)} = \left( {\left( { - 1} \right)^{\,1/2} } \right)^{\,2} = i^{\,2} = - 1 $$ y (como ocurre en su ejemplo) $$ \matrix{ {{1 \over {\sqrt { - 1} }} = \left( {\left( { - 1} \right)^{\,1/2} } \right)^{\, - 1} = {1 \over i} = - i} & {\quad \ne \quad } & {\sqrt {{1 \over { - 1}}} = \sqrt { - 1} = \left( {\left( { - 1} \right)^{\, - 1} } \right)^{\,1/2} = i} \cr } $$ pero eso no sucede si tomamos todas las raíces Por ejemplo $$ \matrix{ {{1 \over {\sqrt { - 1} }} = 1\;e^{\, - \left( {i\pi /2 + ik\pi } \right)} = e^{\, - i\pi /2 + ik\pi } = \mp i} & {\quad = \quad } & {\sqrt {{1 \over { - 1}}} = \sqrt { - 1} = e^{\,\left( {i\pi + i2k\pi } \right)/2} = \pm i} \cr } $$