Porque estos son en realidad Transformación de Fourier de las funciones de Green habituales. Consideremos la ecuación de Schrödinger : $$ \hat{\mathcal{H}}|\Psi(t)\rangle=\mathrm{i}\partial_t|\Psi(t)\rangle $$ La solución general $|\Psi(t)\rangle$ de dicha ecuación para un hamiltoniano independiente del tiempo $\hat{\mathcal{H}}$ puede expresarse en términos de la función de Green $G(x',x,t)$ : $$ \Psi(x,t)=\langle x|\Psi(t)\rangle=\langle x|e^{-\mathrm{i}t\hat{\mathcal{H}}}|\Psi(t=0)\rangle=\int\mathrm{d}x'\,G(x',x,t)\,\Psi(x',t=0) $$ donde $G(x',x,t)=\langle x'|e^{-\mathrm{i}t\hat{\mathcal{H}}}|x\rangle$ . La última igualdad se obtiene introduciendo la identidad de cierre : $$ \int\mathrm{d}x'\,|x'\rangle\langle x'|=\hat{1} $$
A continuación, se puede definir un Operador verde : $$ \hat{G}(t)=-\mathrm{i}\,\Theta(t)\,e^{-\mathrm{i}t\hat{\mathcal{H}}} $$ donde $\Theta$ representa el Función escalonada de Heaviside que está aquí para asegurar la causalidad de la solución $\Psi(x,t)$ .
Entonces, se puede calcular la transformada de Fourier de dicho operador, que a veces se llama operador de resolución : $$ \hat{G}(\epsilon)=\int\mathrm{d}t\,\hat{G}(t)\,e^{\mathrm{i}\epsilon t}=-\mathrm{i}\int\mathrm{d}t\,\Theta(t)\,e^{\mathrm{i}t(\epsilon-\hat{\mathcal{H}})} $$
Entonces se puede expresar el $\Theta$ en términos de su transformada de Fourier: $$ \Theta(t)=\int\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi\mathrm{i}}\,\frac{e^{-i\omega t}}{\omega-\mathrm{i}\eta} $$ donde $\eta$ es un parámetro infinitesimal positivo.
Tomando todo esto en conjunto, usted encontrará que : $$ \hat{G}(\epsilon)=-\frac{1}{2\pi}\int\mathrm{d}\omega\,\frac{1}{\omega-\mathrm{i}\eta}\int\mathrm{d}t\,e^{\mathrm{i}t(\epsilon-\omega-\hat{\mathcal{H}})} $$ Es posible reconocer con la transformada de Fourier de la distribución de Dirac : $$ \delta(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int\mathrm{d}t\,e^{\mathrm{i}\omega t} $$ que : $$ \hat{G}(\epsilon)=-\int\mathrm{d}\omega\,\frac{1}{\omega-\mathrm{i}\eta}\;\delta(\omega+\epsilon-\hat{\mathcal{H}})=\frac{1}{\epsilon+\mathrm{i}\eta-\hat{\mathcal{H}}} $$ que es lo que está buscando.
