No puedo decir mucho sobre la notación, aparte de que, como se utiliza con tanta frecuencia, probablemente sea una buena idea llevar la cuenta del ideal por el que se está dividiendo. Por lo tanto, $R/I$ le da más información que $R/\sim$ a primera vista. Pero esto es sólo mi opinión, sería bueno conocer las razones históricas.
En cuanto a la definición, puedo ofrecerte algo de motivación. No obstante, hay que advertir que no soy ni mucho menos un experto en este tema. Es sólo la forma en que me presentaron los anillos de cociente, y me parece interesante, en todo caso. Seguro que la gente de aquí puede añadir algunas razones más esclarecedoras de por qué estudiamos esta construcción.
Después de definir lo que es un anillo y un morfismo de anillo, y de ver algunos ejemplos, uno puede hacerse la siguiente pregunta:
Dejemos que $I \subset R$ ser un subconjunto de un anillo. Cuando es $I = \ker f$ para algún morfismo $f : R \to S$ ?
Veamos primero las condiciones necesarias: dejemos que $I$ sea tal que $I = \ker f$ para algunos $f: R \to S$ . Ahora bien, si $a,b \in I$ y $r \in R$ ,
$$ f(a+b) = f(a) + f(b) = 0 + 0 = 0 $$
y $f(ra) = f(r)f(a) = 0 = f(a)f(r) = f(ar)$ . Así que necesariamente obtenemos $a+b, ra, ar \in \ker f = I$ y por lo tanto cualquier $I$ debe cerrarse bajo la suma y absorber productos.
¿Son estas propiedades suficientes para concluir que $I$ es el núcleo de algún morfismo?
Si $I$ fueran el núcleo de alguna función $f$ entonces, en particular, para cualquier $a \in R$ deberíamos tener $$ f(a+I) = f(a) + f(I) = \{f(a)\}. $$ Reformulando esto, si $a,b \in R$ difieren sólo por un elemento de $I$ entonces su imagen a través de $f$ debe ser el mismo, en el siguiente sentido: si $a = b + i$ con $i \in I$ Esto equivale a $a-b \in I$ . Y en ese caso,
$$ f(a) = f(a-b + b) = f(a-b) + f(b) = f(b) $$
porque $a-b \in I = \ker f$ . Así que una idea natural sería agrupar elementos de $R$ dependiendo de si "difieren por un elemento de $I$ '. Concretamente, definimos la relación $a \sim b \iff (a-b) \in I$ . Esto se ve como una relación de equivalencia a partir de las propiedades de $I$ y siempre tenemos un mapeo canónico desde $R$ a las clases de $R/I := R/\sim$ (que anotaré indistintamente $[a]$ o $a+I$ ) a través de
$$ \begin{align*} \pi : \ & R \to R/I \\ & r \mapsto r + I \end{align*} $$
Hasta ahora $R/I$ no tiene estructura de anillo, ya que $\pi$ siempre existe como función entre conjuntos (para cualquier relación de equivalencia, en realidad). Pero $R$ es un anillo, así que tal vez podamos darle sentido a $R/I$ como un anillo en sí mismo. En efecto, con un poco de trabajo, se puede demostrar que esto es así, definiendo
$$ [a] + [b] := [a+b] \text{ and } [a] \cdot [b] := [ab]. $$
con $[0]$ y $[1]$ como identidades. Estas podrían estar mal definidas, lo que significa que diferentes representantes de una clase podrían dar resultados diferentes, pero no es el caso: Lo demostraré para la suma, y te dejaré que completes la otra: si $a \sim a'$ y $b \sim b'$ tenemos
$$ [a']+[b'] = [a'+b'] = [a+b + (a'-a) + (b'-b)] = [a+b] = [a]+[b], $$
desde $(a'-a),(b'-b) \in I$ . En particular, con esta estructura $\pi$ es un morfismo de anillo.
Bien, hemos visto que $I$ necesita tener algunas propiedades especiales, y que éstas motivan $R/I$ . Todo esto suponiendo que $I$ es el núcleo de algún morfismo, pero hasta ahora no hay ninguna indicación de que esto deba ser así: en particular, necesitamos tener un anillo adecuado $S$ como el codominio, que en principio debería estar relacionado con nuestro subconjunto $I$ . Bien, tenemos un morfismo recién construido a mano, y éste parece servir: si $a \in R$ entonces $a \in \ker \pi$ si y sólo si $\pi(a) = [0]$ . Es decir $a \sim 0$ , o de forma equivalente, $a = a -0 \in I$ . Con esto concluye la respuesta a nuestra pregunta:
Propuesta . Un subconjunto $I$ de un anillo $R$ es el núcleo de algún morfismo $f: R \to S$ si y sólo si $I$ es un ideal.
Espero que esto al menos motive por qué uno haría tal construcción: los ideales están estrechamente relacionados con los núcleos, y los núcleos aparecen en todas partes de forma natural, porque son intrínsecos a los morfismos entre anillos.
