enésimo momento, para 0 < n < 1 o n <0, ¿existen?

Question

Me interesan los momentos, tenemos por ejemplo la media, $\mathrm{E}(X)$ y $\mathrm{E}(X^2)$ . ¿Qué pasa con los valores como $\mathrm{E}(X^{1.5})$ o $\mathrm{E}(X^{-1})$ ? ¿Han sido investigados?

Answer 1

Sí, se ha investigado al menos hasta cierto punto, como se puede comprobar fácilmente buscando en Google "momento inverso" o "momentos fraccionarios".

Edición: En algunos casos, estos momentos son bastante sencillos de calcular. Aquí hay un ejemplo de cálculo $E(X^{3/2})$ para $X\sim\text{gamma}(\alpha,1)$ :

\begin {eqnarray} E(X^{3/2}) &=& \int_0 ^ \infty x^{3/2} f(x) dx \\ &=& \frac {1}{ \Gamma ( \alpha )} \int_0 ^ \infty x^{3/2} x^{ \alpha -1} e^{-x} dx \\ &=& \frac { \Gamma ( \alpha +3/2)}{ \Gamma ( \alpha )} \cdot \frac {1}{ \Gamma ( \alpha +3/2)} \int_0 ^ \infty x^{( \alpha +3/2)-1} e^{-x} dx \\ &=& \Gamma ( \alpha +3/2)/ \Gamma ( \alpha ) \end {eqnarray}

Puedes hacer fácilmente $E(X^{-1})$ (siempre y cuando $\alpha>1$ ).