Soy nuevo en el Stack Exchange de Matemáticas. Tengo esta desigualdad: $$\sum_{i=1}^{2013}(x_i-\sqrt{2})(x_i+\sqrt{2}) \geq \sum_{i=1}^{2012}x_ix_{i+1}+x_{2013}x_{1}-3 $$ donde $x_{1}, x_{2},...$ son enteros todos distintos. ¿Cómo se aborda?
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universalset
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Boceto/Sugerencias : Utilizando $(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) = x^2-2$ el lado izquierdo se convierte en $\displaystyle \sum_{i=0}^{2013} x_i^2 - 4026$ .
Entonces utiliza el hecho de que $\displaystyle x^2+(x+k)^2-2x(x+k) = k^2$ para transformar la desigualdad dada en la forma equivalente $$\sum_{i=1}^{2013} \frac{(x_{i+1}-x_i)^2}{2} \geq 4023,$$ donde $x_{2014}=x_1$ .
Ahora utiliza el hecho de que los enteros son todos distintos para demostrar que $\displaystyle \sum_{i=1}^{2013}|x_{i+1}-x_i| \geq 4024$ con todos los sumandos enteros positivos, y por tanto la igualdad implica que al menos dos de los sumandos son $1$ . Este es el paso más complicado, así que aquí hay un esbozo de una prueba para esto: usar la inducción en el número de términos, mostrando que $\displaystyle f_n(\overline{x}) = \sum_{i=1}^n |x_{i+1}-x_i| \geq 2(n-1)$ , donde $x_{n+1}=x_1$ . El caso base $n=2$ es fácil. Para los más grandes $n$ , elija algunos $x_i$ que no es ni el más pequeño ni el más grande, y eliminar ese $x_i$ de la secuencia, y luego aumentar cada $x_j$ que era menos que $x_i$ por $1$ obteniendo una secuencia reducida de $n-1$ muchos $y$ 's. Por la hipótesis de inducción, $f_{n-1}(\overline{y}) \geq 2(n-2)$ y también es cierto que $f_n(\overline{x}) \geq f_{n-1}(\overline{y})+2$ (considere cómo las diferencias entre los números menores de $x_i$ y los mayores de $x_i$ cambio cuando desplazamos los números menos de $x_i$ por $1$ ). El paso inductivo es el siguiente.
Por último, utilice el hecho de que $g(x) = x^2$ es convexo para obtener el resultado tanto en el caso de la igualdad anterior utilizando el hecho de que dos sumandos son $1$ y en el caso de $\displaystyle \sum_{i=1}^{2013}|x_{i+1}-x_i| \geq 4025$ .
Ragnar
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Pensé que sería capaz de resolver el problema, pero aparentemente, no puedo. Lo voy a publicar porque ya lo escribí todo y tal vez todavía se puede utilizar es.
Sabemos que todos los $x_i$ son números enteros diferentes. Porque tenemos $n$ ( $n=2013$ pero esta desigualdad es cierta para el $n$ ) de ellos, hay al menos dos $x_i$ con diferencia $n-1$ . Supongamos, por ejemplo, que $x_j-x_1\geq n-1$ con $1<j\leq n$ . Ahora sabemos que \begin {align} \sum_ {i=1}^{j-1}x_{i+1}-x_i&=x_j-x_1 \geq n-1 \\ \sum_ {i=j}^n x_{i}-x_{i+1}&=x_j-x_i \geq n-1 \end {align} Usando la media cuadrática-aritmética $$ \sqrt{\frac{\sum a_i^2}n}\geq \frac {\sum a_i}n $$ con $a_i=\left|x_{i+1}-x_i\right|$ encontramos que \begin {align} \sqrt { \frac { \sum_ {i=j}^n (x_{i+1}-x_i)^2}{n-j+1}}& \geq \frac { \sum_ {i=j}^n |x_{i+1}-x_j|}{n-j+1} \geq \frac { \sum_ {i=j}^nx_{i+1}-x_i}{n-j+1} \geq \frac {(n-1)}{n-j+1} \\ \sqrt { \frac { \sum_ {i=1}^{j-1} (x_{i}-x_i+1)^2}{j-1}}& \geq \frac { \sum_ {i=1}^{j-1} |x_{i}-x_{i+1}|}{j-1} \geq \frac { \sum_ {i=1}^{j-1}x_{i}-x_{i+1}}{j-1} \geq \frac {(n-1)}{j-1} \end {align}
Elevando al cuadrado ambos lados, multiplicando por $n$ y sumando las dos desigualdades se obtiene \begin {align} \sum_ {i=1}^n(x_{i+1}-x_i)^2 \geq (n-1)^2 \left ( \frac1 {j-1}+ \frac1 {n-j+1} \right ) \end {align} Con un poco de cálculo simple (diferenciación) encontramos que el lado derecho es mínimo para $j=\frac{n+2}{2}$ con un mínimo de $\frac 4n$ . Así, obtenemos \begin {align} \sum_ {i=1}^n(x_{i+1}-x_i)^2 \geq (n-1)^2 \left ( \frac1 {j-1}+ \frac1 {n-j+1} \right ) \geq 4 \frac {(n-1)^2}n \end {align} El problema es que la estimación para $j$ es demasiado agudo, por lo que la igualdad que ahora queda por demostrar no es siempre cierta.
