Fotos de espace etale'

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico. Tenemos un morfismo de categorías \begin {equation} PreSh_X \xrightarrow Top_X \end {Ecuación} que asigna a cada preseaf (de grupos abelianos) $\mathcal{F}$ en $X$ un espacio topológico $sp(\mathcal{F})=\coprod_{p\in X} \mathcal{F}_p$ con la topología (más fina) que hace que todos los mapas seccionales (gérmenes de toma de una sección en un conjunto abierto) sean continuos.

¿Cuáles son algunos ejemplos de estos espacios topológicos?

Por ejemplo

La más fácil es si $\mathcal{F}$ es el functor constante $A$ entonces $sp(\mathcal{F})$ es sólo $A\times X$ con la topología del producto (donde $A$ tiene una topología discreta).

Si tomamos la gavilla del rascacielos $\mathcal{F}_{A,p}$ centrado en un punto cerrado $p$ , entonces el espacio topológico tiene el siguiente aspecto $A$ copias en $p$ y lo mismo en todas partes.

¿Cómo es que $sp(\mathcal{F})$ busque, por ejemplo, la gavilla de funciones holomorfas sobre $X$ donde $X=\mathbb{C}$ y $X=S^1$ . ¿Hay otros ejemplos importantes?

Answer 1

El espacio étalé $p:X=sp(\mathcal O)\to \mathbb C$ es una enorme variedad compleja unidimensional con un número continuo de componentes conectados.
Cada uno de estos componentes $X_i$ es la superficie de Riemann unida a un par (no único) $(U,f)$ donde $U\subset \mathbb C$ está abierta y conectada y $f\in \mathcal O(U)$ es holomorfo.
A la inversa, dado ese par $(U,f)$ existe una sección holomórfica canónica $s:U\to X$ de $p$ y la mejor definición de "la superficie de Riemann de $f$ " es declarar que es el componente conectado del subconjunto abierto $s(U)\subset X$ .

Bibliografía
Como siempre, la mejor referencia es la obra de Forster Conferencias sobre las superficies de Riemann especialmente las páginas 42-48.