Puntos de intersección de dos círculos

Question

Tenemos dos círculos $x^2 + y^2 = \alpha x$ y $x^2 + y^2 = \beta y $ para cualquier $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ . Quiero encontrar los puntos de intersección.

Sabemos que $(0,0)$ es una solución trivial. Si establecemos las ecuaciones igual, obtenemos $y = \frac{ \alpha }{ \beta} x $ por lo que tenemos

$$ x^2 + \left( \frac{ \alpha x }{\beta} \right)^2 = \alpha x \implies x + \frac{ \alpha^2}{\beta^2}x = \alpha \implies x = \frac{\beta^2 \alpha}{\beta^2 + \alpha^2}$$

y así $y = \frac{ \beta \alpha^2}{\beta^2 + \alpha^2} $ . Así que tenemos otro punto de intersección. ¿Es esta la solución correcta?

Answer 1

En general, para dos círculos: $$ (x-h_1)^2+(y-k_1)^2=r_1^2\quad\text{and}\quad(x-h_2)^2+(y-k_2)^2=r_2^2, $$ su diferencia es una ecuación lineal.
$$ 2(h_2-h_1)x+2(k_2-k_1)+(h_1^2-h_2^2)+(k_1^2-k_2^2)=r_1^2-r_2^2. $$ La línea determinada por esta ecuación pasa por los dos puntos de intersección de las esferas (incluso si el punto de intersección es una intersección doble o una intersección compleja). Entonces, los puntos de interés son las intersecciones triples de las circunferencias y la recta; si se resuelve para $x$ o $y$ y se introduce ese valor en uno de los círculos, las dos soluciones serán los dos puntos de intersección.