Tengo dificultades para entender Axioma de regularidad :
Todo conjunto no vacío $\rm A$ contiene un elemento $\rm B$ que es disjunta de $\rm A.$
Así que desde mi punto de vista si tengo un conjunto como:
$$\{1, 2, 3, 4, 5\}$$
Entonces uno de $[1,2,3,4,5]$ no es un elemento de $\rm A?$ ¿Eh?
En la teoría axiomática de conjuntos todo es un conjunto , no se trabaja con otros objetos.
Así que aunque denoten algunas cosas por $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ son, de hecho, conjuntos.
De hecho, si nos fijamos en su ejemplo y utilizamos el construcción estándar de enteros positivos en ZFC, entonces tenemos
$0=\emptyset$ ,
$1=\{0\}$ ,
$2=\{0,1\}$ ,
$3=\{0,1,2\}$ ,
$4=\{0,1,2,3\}$ y
$5=\{0,1,2,3,4\}$ .
El axioma de regularidad dice que uno de los elementos del conjunto $A=\{1,2,3,4,5\}$ es un conjunto disjunto con $A$ . De hecho, $1$ es tal conjunto -- el único elemento de $1$ es $0=\emptyset$ que no es un elemento de $A$ Por lo tanto $1\cap A=\emptyset$ .
Esto puede ser un punto de vista inusual para alguien acostumbrado a trabajar en teoría ingenua de conjuntos pero, una vez más, la idea básica es esa: Todo es un conjunto. Tenemos algunos axiomas que nos permiten crear nuevos conjuntos a partir de los conjuntos que ya hemos construido. Para trabajar en este entorno intentamos crear modelos de varias cosas utilizando estos axiomas. Así, cada entero, número racional, número real será modelado en ZFC como algún conjunto.
Permíteme decir también que probablemente no necesites preocuparte demasiado por el axioma de regularidad si estás empezando a estudiar la teoría axiomática de conjuntos. Sólo necesitarás este axioma mucho más tarde (quizás cuando te encuentres con jerarquía acumulativa donde este axioma asegura que todo conjunto puede ser obtenido por este proceso repetido de tomar uniones y conjuntos de potencia o cuando se encuentre con conjuntos inductivos en Axioma del Infinito y construcción de números naturales. ) Se pueden hacer muchas cosas sin este axioma.
No creo que se necesite regularidad para trabajar con conjuntos inductivos, el conjunto inductivo más pequeño está automáticamente bien fundado.
@Michael Tal vez no lo recuerdo correctamente, pero ¿no se utiliza la regularidad como argumento, por lo que un conjunto inductivo debe ser infinito? (La palabra infinito se utiliza en un intuitivo sentido aquí, no como una noción matemática precisa). Por eso se utiliza el nombre de Axioma del Infinito, aunque garantiza la existencia de un conjunto inductivo. (No se llama Axioma del Conjunto Inductivo).
La definición de conjunto inductivo que conozco dice que $I$ es inductivo si (a) $\emptyset\in I$ y (v) $x\in I$ implica $x\cup\{x\}\in I$ . Así que tenemos $0=\emptyset\in I$ , $1=\{\emptyset\}=\{0\}\in I$ , $\{0,1\}=2\in I$ etc. Así que hay infinitos elementos en cada conjunto inductivo. Si cambiáramos la definición de modo que (a) se sustituyera por (a'): $I$ es no vacía, entonces $x=\{x\}$ implicaría que $x$ es un conjunto inductivo, pero con la definición estándar, un conjunto inductivo debe contener infinitos elementos.
El axioma de regularidad dice que uno de $1,2,3,4,5$ es disyuntiva de $\{1,2,3,4,5\}$ Hay un poco de $x\in\{1,2,3,4,5\}$ tal que $x\cap\{1,2,3,4,5\}=\varnothing$ .
Puede sonar un poco raro, pero en la moderna teoría de conjuntos todo es un conjunto.
Por ejemplo, tomemos el conjunto $\{\varnothing\}$ tiene un elemento y efectivamente $\varnothing\cap\{\varnothing\}=\varnothing$ . No implica que $\varnothing\notin\{\varnothing\}$ .
Así que el axioma nos dice que todo conjunto $A$ o bien tiene $\varnothing\in A$ o tiene algún elemento $x$ que no es un subconjunto de $A$ (de hecho $x\cap A=\varnothing$ que es un requisito más fuerte).
Ahora, después de la corrección, sigo sin estar de acuerdo. Si se toma $A=\{1,2,3,4,5\}$ (o cualquier ordinal), cada elemento de este conjunto es un subconjunto del mismo. (Perdona por ser puntilloso - no estaba seguro de lo que querías decir, y por eso no intenté corregir la errata yo mismo).
@MartinSleziak: Con la construcción estándar de los números naturales, no de este conjunto es un subconjunto, porque todos ellos contienen el conjunto vacío, que no es un elemento de $A$ . Probablemente querías decir $A=\{0,1,2,3,4,5\}$
Terry Tao da el siguiente ejemplo en su libro Analysis I (sección 3.2). Considere el siguiente conjunto de conjuntos $$A=\big\{\; \{3,4\},\;\{3,4,\{3,4\}\}\;\big\}.$$ Entonces toma $x=\{3,4\}$ . Sabemos que $x\in A$ y que $x$ es un conjunto. Dado que $x$ es un conjunto, podemos preguntar: ¿qué es $x\cap A$ ? Informática $$ x\cap A = \{y: y\in x\text{ and } y\in A\} = \{y: (y=3\text{ xor } y=4) \text{ and } y\in A\} = \emptyset $$ ya que ninguno de los dos $3$ ni $4$ son elementos de $A$ . Así hemos encontrado un elemento $x\in A$ que es disjunta de $A$ .
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Dice que uno de ellos no contiene ninguno de 1,2,3,4,5 como elemento.