Entender la matriz de controlabilidad

Question

Considere \begin {equation*} \dot {x} = Ax + Bu, \quad x \in\mathbb {R}^n,\Ny u \in\mathbb {R}^m, \quad A \in\mathbb {R}^{n \times n},\NB \in \mathbb {R}^{n \times m} \end {equation*} \begin {equation*} \text {Rango}( \mathcal {C} = [B \ AB \ A^2B \ A^2B \cdots \ A^{n-1}B]) = n \iff \text { (A,B) es observable } \end {equation*} Me encontré con el siguiente reclamo: \begin {equation} Rango( \mathcal {C}) = \text {Todos los estados alcanzables} \end {Ecuación} Pero,

1. Rango( $\mathcal{C}$ ) = $\sum_{i=0}^{n-1}A^iB\cdot v_i, \ \forall v_i \in \mathbb{R}^m$

2. Estados alcanzables = { $x \in \mathbb{R}^n$ | $x=\int_0^{t_1} e^{A(t_1-\tau)}Bu(\tau)d\tau\ \ \forall u(\tau) \in \text{piecewise continuous }$ }, como $e^{At} = \sum_{i=0}^{n-1}A^ic_i(t)$ \begin {Ecuación} x(t_1) = \sum_ {i=0}^{n-1}A^iB \int_0 ^{t_1} c_i(t_1- \tau )u( \tau )d \tau = \sum_ {i=0}^{n-1}A^iB \alpha_i (t_1) \end {Ecuación}

En (1) los vectores se multiplican por $A^iB$ son todos los vectores posibles mientras que en (2) $\alpha_i(t_1) = \int_0^{t_1} c_i(t_1-\tau)u(\tau)d\tau$ pueden no ser todos los vectores posibles en $\mathbb{R}^m$

Entonces, ¿cómo demostramos que $\alpha_i(t_1)$ puede ser cualquier vector posible en $\mathbb{R}^m$ variando $u(t)$ ?

Answer 1

En realidad, la idea es similar a la matriz de Gramian.

Lo primero que hay que tener en cuenta es que $c_i(t)$ son funciones linealmente independientes, es decir, no existe ningún vector constante no nulo $w$ tal que $w^Tc(t)=0$ , donde $c(t):=[c_1(t)\dotsc_n(t)]^T$. Esto también significa que$$C(t):=\int_0^t c(\tau)c^T(\tau) d\tau =\int_0^t c(t-\tau)c^T(t-\tau) d\tau$$es de rango completo para todos los$t$. Suponiendo una sola entrada, tenemos que encontrar$u(t)$tal que$$\alpha(t_1) = \int_0^{t_1} c(t_1-\tau) u(\tau) d\tau$$para cualquier$\alpha(t) := [\alpha_1(t)\dots\alpha_n(t)]^T$. Para ello podemos seleccionar$$u(t) = c^T(t_1-t) C^{-1}(t_1) \alpha(t_1)$$