¿Por qué X=x es imposible para las variables aleatorias continuas?

Question

Antecedentes:

Cuando consideramos una variable aleatoria continua $X$ y considerar algunas realizaciones independientes de $X$ Me dicen que las realizaciones deben ser únicas ya que $\text{Pr}(X=x)=0$ . Cuando consideramos la interpretación de la frecuencia a largo plazo de la probabilidad, donde $\text{Pr}(A)=\frac{\text{ Number of times you get event A}}{\text{Number of trials}}$ y observamos $x$ tres veces tenemos que $3/\text{Number of independent runs of the experiment}$ todavía se acercará a 0 a medida que el número de ensayos se acerque al infinito.

Pregunta:

¿Por qué es entonces imposible que observe una cantidad finita de observaciones que son las mismas cuando hago un número muy grande de realizaciones independientes de una VR? Si dividimos este número entre el número de ensayos, la fracción se acercará a 0 a medida que el número de ensayos se acerque al infinito, de modo que $\text{Pr}(X=x)=0$ todavía se mantiene.

Answer 1

En realidad, nadie dice que tal evento sea imposible. La probabilidad igual a cero no es lo mismo que la imposibilidad (compruebe aquí , aquí y aquí ). Probabilidad de que $X=x$ es igual a cero para variables continuas porque la probabilidad de que ocurra tal evento es infinitamente pequeña ya que hay un número infinito de números reales.

También de puramente matemático punto de vista informal $\tfrac{1}{\infty} = 0$ y más formalmente, ya que el infinito no es un número, $\lim_{n\to\infty} \tfrac{1}{n}=0$ Por lo tanto, decir que la probabilidad de que algo ocurra es infinitamente pequeña es literalmente lo mismo como decir que es igual a cero.