subespacios cerrados en $\ell^p$

Question

Dado el operador: $T: \ell^1 \rightarrow \ell^2$ con $Tx = x$ ¿cuál de los siguientes subconjuntos de $\ell^1 \times \ell^2$ ¿están cerradas?

$U = \ell^1 \times \{0\}$

$V = \Gamma_T$ el gráfico de T

$U + V$

Definición del operador $A: \ell^1 \times \ell^2$ y $Ax = 0$ tenemos $U = \Gamma_A$ .

$A$ y $T$ son continuas y lineales. Por el teorema del gráfico cerrado tenemos que $U$ y $V$ están ambos cerrados. ¿Es esto correcto hasta ahora?

No sé cómo probar o refutar que $U + V$ está cerrado. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Considere una secuencia $$x_n =\left( 1,\frac{1}{2} , \frac{1}{3} ,...,\frac{1}{n} , 0,0,...\right)$$

Tnen $(-x_n ,0)\in U$ y $(x_n , x_n ) \in V$ pero $$(-x_n ,0) + (x_n , x_n )\to (0, x)$$

donde $x=\left(\frac{1}{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}$ y el elemento $(0,x)\notin U+V$ por lo que el conjunto $U+V$ no está cerrado.