El límite de $\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n$

Question

Estoy enfocando la cuestión desde la perspectiva de la desigualdad. En otras palabras, sólo quiero ver si la ecuación tiene un límite superior o inferior.

Después de expandir la ecuación utilizando la expansión binomial, obtengo el término que $$\left(1 + \frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n \leq 1 + n^{1/2} + \frac{n}{2} + \frac{n^{3/2}}{2^{2}}$$

Para $n^{1/2} + \frac{n}{2} + ...$ $$a = \sqrt{n}, r = \frac{\sqrt{n}}{2}$$ Luego utilizo la fórmula de la suma al infinito $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ para conseguir $\frac{4{\sqrt{n}} + 2n}{4 - n}$ , vuelve a añadir el 1 y simplifica para obtener $\frac{\frac{4}{n} + \frac{4}{\sqrt{n}} + 1}{\frac{4}{n} - 1}$ .

Finalmente, cuando aplico el límite de n al infinito, obtengo de nuevo -1. Pero, esto no me parece correcto. Volviendo a la ecuación, si n es positivo, la suma hasta el infinito debería ser un número positivo.

Mi opinión es que el ratio que he utilizado al calcular la suma hasta el infinito es erróneo. El cociente debería ser menor que 1, pero mi cociente es mayor que 1 si n tiende a infinito. ¿Cómo puedo resolver esto?

Answer 1

Tenga en cuenta que $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)^{\sqrt n}=e>2$ de modo que para $n$ lo suficientemente grande tenemos $\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)^{\sqrt n}>2$ y en consecuencia: $$\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)^{n}>2^{\sqrt n}$$

Esto demuestra que: $$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)^{n}=+\infty$$

Answer 2

Dejemos que $n=k^2$ entonces $$\lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{\sqrt{n}})^n=\lim_{k \to \infty}(1 + \frac{1}{k})^{k^2}=\lim_{k \to \infty}\left((1 + \frac{1}{k})^{k}\right)^k\to e^\infty=\infty$$

Answer 3

Por la desigualdad de Bernoulli $(1+x)^r\ge 1+rx$ tenemos

$$\left(1 + \frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{\sqrt{n}}\ge1 + \sqrt{n}\frac{1}{\sqrt{n}}=2$$

y por lo tanto

$$\left(1 + \frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{{n}}=\left[\left(1 + \frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{\sqrt{n}}\right]^{\sqrt{n}}\ge2^{\sqrt{n}}\to \infty$$

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Como alternativa por la expansión de Taylor tenemos

$$\left(1 + \frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{n}=e^{n\log \left(1 + \frac{1}{\sqrt{n}}\right)}=e^{n\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+O(1/n)\right)}=e^{\left(\sqrt n+O(1)\right)}\sim e^\sqrt n\to \infty$$

Answer 4

Puedes utilizar la expansión binomial de la ecuación:

$$\left(1 + \frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n = \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} 1^k\times\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{n-k} $$

Como todos los términos son positivos, se puede fijar un límite inferior:

$$\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} 1^k\times\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{n-k} \ge \sum_{k=n-1}^n \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} 1^k\times\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{n-k} $$

Entonces, ten en cuenta que:

$$\sum_{k=n-1}^n \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} 1^k\times\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{n-k} =$$$$ \begin {pmatriz} n \\n -1 \end {pmatrix} 1^{n-1} \times\left ( \frac {1}{ \sqrt {n}} \right )^1 + \begin {pmatriz} n \\n \end {pmatrix} 1^{n} \times\left ( \frac {1}{ \sqrt {n}} \right )^0 \\ $$$$=n\times\frac{1}{\sqrt{n}} + 1$$

Por lo tanto, usted tiene

$$\left(1 + \frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n \ge 1+\sqrt{n}$$

A partir de ahí, puedes deducir tu límite.

Answer 5

Así que, básicamente estás diciendo: $$(1 + \frac{1}{\sqrt{n}})^n\le \frac{\frac{4}{n} + \frac{4}{\sqrt{n}} + 1}{\frac{4}{n} - 1},$$ sin embargo, no es cierto por WA%5En%3E(4%2B4*sqrt(n)%2Bn)%2F(4-n)) para $n\ge 5$ . Esto implica que su estimación original con la progresión geométrica no es válida.