Proporción de células con cierto número de mutaciones en la población en división

Question

He conseguido reducir un problema de mi investigación a lo siguiente: Supongamos que tenemos una población de células que comienza con una sola célula que tiene cero mutaciones, y en cada paso de tiempo cada célula se divide en dos. Después de cada división, una de las células hijas puede obtener una mutación con probabilidad $\mu$ y perder una mutación con probabilidad $\beta$ , donde $\beta < \mu$ (una célula con cero mutaciones no puede perder ninguna). Después de mucho tiempo, ¿cuál es la fracción $f_i$ de células que tienen $i$ mutaciones.

Pensé que tendríamos $f_i = (1-\mu-\beta)f_i + \mu f_{i-1} + \beta f_{i+1}$ ya que la fracción de células con $i-1$ las mutaciones podrían mutar con probabilidad $\mu$ tener $i$ mutaciones, la fracción de células con $i+1$ las mutaciones podrían mutar con probabilidad $\beta$ tener $i$ mutaciones, y la fracción de células con $i$ mutaciones no perdería ni ganaría ninguna mutación con probabilidad $1-\mu-beta$ . Sin embargo, esto parece ser un error, porque $f_i = c$ para cualquier constante $c$ satisface esta ecuación. ¿Cuál es la forma correcta de resolver este problema? Gracias.

Answer 1

Imaginando una población con dos alelos ( $a$ , $b$ ) y diploide, la ecuación de diferencia para la proporción de $a$ alelos, convencionalmente $p$ , con el avance ( $a \rightarrow b$ ), $\mu$ y al revés ( $b \rightarrow a$ ), $\nu$ es:

$$p_{t+1} = p_t - \mu p_t + \nu (1 - p_t).$$

Para encontrar el comportamiento a largo plazo, podemos imaginar una proporción de una población con el alelo $a$ , $p$ llegando a un punto en el que ya no cambia. En otras palabras, cuando $p_{t+1} = p_t$ ; llamaremos a esto $p^*$ . Podemos hacerlo estableciendo $p_t$ s y $p_{t+1}$ a $p^*$ :

$$p^* = p^* - \mu p^* + \nu (1 - p^*).$$

Resolver algebraicamente para $p^*$ , encontramos que el comportamiento a largo plazo es que

$$p^* = \frac{\nu}{\mu + \nu}.$$

Esto se aplica a las poblaciones pequeñas, a las grandes, a las que disminuyen o a las que crecen. Con poblaciones pequeñas o poblaciones cambiantes hay efectos de muestreo que se desvían trivialmente de esta solución. Pero en general, esta sería la expectativa media.