Número común menos teoría pregunta múltiples

Question

No sé cómo he podido encontrar, con la prueba, el mínimo común múltiplo posible más pequeño de tres enteros positivos que resumen $2005$.

Si alguien puede proporcionar una prueba que sería muy feliz.

Answer 1

$2005=4\cdot401$ $401$ Cebe.

Entonces

$$2005=2\cdot401+2\cdot401+401 \,.$$

Así encontramos tres números con lcm 802. Reivindicamos que este es el menor valor posible.

Supongamos por contradicción que podemos encontrar

$a+b+c =2005$ and $l=\operatorname{lcm}(a,b,c) < 802$. Podemos suponer que $a \leq b \leq c$.

Desde $b, c \leq l$ se deduce que

$$ 2005=a+b+c \leq a+2l < a+2\cdot802$$

Así $a > 401> \frac{l}{2}$. Desde $a> \frac{l}{2}$ y $a\mid l$, se deduce que $a=l$.

Entonces $$l =a \leq b \leq c \leq l \Rightarrow a=b=c=l \Rightarrow 3l=2005$ $

Contradicción.