Un problema de álgebra: Sea $a+b+c=0$ . Demostrar que $a^2+b^2+c^2 =6/5$

Question

Dejemos que $a,b,c$ sean números reales no nulos tales que $a+b+c=0$ y $a^3+b^3+c^3 = a^5 +b^5 +c^5$ . Demostrar que $a^2+b^2+c^2 =6/5$

Intenté ampliar $(a+b+c)^5$ pero no puedo conseguir término de $a^2+b^2+c^2$ .

Answer 1

Sugerencia: Con $$c=-a-b$$ nos metemos en $$a^3+b^3+c^3-a^5-b^5-c^5=0$$ la ecuación $$ab(a+b)(5a^2+5ab+5b^2-3)=0$$

Answer 2

Cuando veas ecuaciones simétricas, intenta la siguiente sustitución $$a+b+c=s=0\qquad ab+bc+ac=q\qquad abc=p$$ Y reescribir las ecuaciones en términos de $s,q,p$

$$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)\implies a^3+b^3+c^3=3p$$

$$a^5+b^5+c^5\stackrel{(*)}=-5(ab+bc+ac)(abc)=-5qp$$

(*) significa: en este caso.

Si te preguntas cómo he obtenido esto, utiliza Identidades de Newton . No es difícil, pero sí largo.

Finalmente $$a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5\implies -5qp=3p\implies q=-\frac35$$ Ahora $$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=s^2-2q=\frac65$$