Suma de enteros y sistema de ecuaciones

Question

Siempre me pregunté, pero nunca entendí, cómo resolver el siguiente tipo de ecuación $$\begin{matrix} &{x}+y=35 \\ &x\geq15 \\ &y\geq 15 \\ &(x,y) \in \mathbb{N} \end{matrix}$$

(Me he inventado los valores) Encontré los dos pares $$(19;16) \;\& \;(17;18)$$ ¿Son las únicas soluciones? Si lo son, ¿cómo demostrarlo?

Answer 1

Puedes escribir $x=15+k_1, y =15+k_2$ Ahora sustituye esto por $x+y =35$ Obtenemos $k_1 + k_2 =5$ Ahora el número de valores posibles de $k_1, k_2$ corresponde a los posibles valores de $x$ y $y$ por lo que el número de formas son $C(n+r-1,r-1)$ Aquí, en este problema particular $n=5$ y $r=2$ , por lo que las formas totales son $6$ .

Answer 2

Dado , $\ x\ge 15$ . Por lo tanto, $\ 35-y \ge 15$ es decir $\ y\le 20$ . Desde , su dado $\ y\ge 15$ . Por lo tanto, los posibles valores integrales de $\ y =$ {15,16,17,18,19,20}.. Y en correspondencia con cada y , hay un valor integral de $\ x$ ..

Answer 3

Gráfico ¡!

Y además, hay infinitas soluciones racionales, sin embargo sólo una cantidad finita de coordenadas enteras.

Aquí está el gráfico:

La intersección de las secciones sombreadas en verde y azul (sección verde-azul) le da su $x$ y $y$ soluciones.