$T$ es inyectiva si y sólo si las columnas de la matriz que representa el $T$ son linealmente independientes

Question

$T$ es inyectiva si y sólo si las columnas de la matriz que representa el $T$ son linealmente independientes

Dejemos que $T: V \to W$ sea una transformación lineal inyectiva y que $B_V = (v_1,\ldots,v_n)$ sea una base para $V$ y $B_W = (w_1,\ldots,w_m)$ una base para $W.$ Entonces $A = \mathcal{M}_T(B_V,B_W) = (x_1, x_2,\ldots,x_n) = \left([T(v_1)]_{B_W},[T(v_2)]_{B_W},\ldots, [T(v_n)]_{B_W} \right)$ donde $[T(v_i)]_{B_W} = \pmatrix{a_{1i} \\ a_{2i} \\ \vdots \\ a_{mi}}.$

Bastante atascado en esto, ¿cómo empiezo? ¿Utilizo el hecho de que $\ker T = \{0\}?$ Si me dieran una pista, se lo agradecería. Gracias.

Answer 1

Supongamos que las columnas son LI.

Escriba $v \in V$ como $v = a_1v_1 + \cdots + a_nv_n$ .

Entonces, si $T(v) = 0$ tenemos $0 = T(v) = T(a_1v_1 + \cdots + a_nv_n) = a_1T(v_1) +\cdots + a_nT(v_n)$ .

Por el LI de la $T(v_j)$ se deduce que $a_1 = \cdots = a_n = 0$ . Por lo tanto, $v = 0v_1 +\cdots + 0v_n = 0$ .

Si lo haces en la otra dirección, supón que $\text{ker }T = \{0\}$ y..:

$c_1T(v_1) +\cdots + c_nT(v_n) = 0$ . ¿Qué puede deducir sobre el $c_j$ ?