Evaluar el valor de $n$ en $\, ^{n+2} P_5=18 \times \, ^{n}P_4$

Question

Supongamos que $\, ^{n+2} P_5=18 \times \, ^{n}P_4$ . ¿Cómo podemos evaluar n?

Intenté ampliarlo así:

$$(n+2)(n+1)(n+0)(n-1)(n-2)=18 \cdot n(n-1)(n-2)(n-3)$$

Entonces trato de multiplicar todos ellos por encima, pero se hace más largo....y ahora um confundido.

Pensé en dividir el S.A.R. por el S.A.L. (dejando el $18$ en el R.H.S) para poder anular algunos de ellos.

No estoy seguro de ello.

Answer 1

La sugerencia de Matthew Conroy en el comentario da en el clavo. A menudo tenemos algún polinomio y nos esforzamos mucho por factorizarlo. Aquí tenemos polinomios ya factorizados, ¡así que deberíamos dejarlos tranquilos! Tenemos:

$$(n+2)(n+1)(n+0)(n-1)(n-2)=18 \cdot n(n-1)(n-2)(n-3)$$

y podemos cancelar inmediatamente los factores de $n, n-1,$ y $n-2$ de ambos lados, observando en el camino que $n=0,1,2$ son todas soluciones triviales. La cancelación nos deja con:

$$(n+2)(n+1)=18 \cdot (n-3)$$

y ahora debemos expandir los polinomios y recoger los términos, obteniendo $$n^2-15n +56 = 0$$

que podemos resolver por los métodos habituales para obtener las soluciones $n=7,8$ .

Answer 2

Observa que algunos términos del lado izquierdo y derecho de la ecuación se cancelarán.

$$\require{cancel} (n+2)(n+1)\cancel{(n+0)}\cancel{(n-1)}\cancel{(n-2)}=18 \cdot \cancel{n}\cancel{(n-1)}\cancel{(n-2)}(n-3)$$

Obtendrá una cuadrática en $n$ :

$$n^2 + 3n + 2 - 18n + 54 = n^2 - 15n + 56 = (n-7)(n-8) = 0$$

Answer 3

En primer lugar, ¿hay restricciones para $n$ ? Por ejemplo, n=0,1,2 podría llevar a que cada lado se evalúe a cero aunque se podría argumentar que el 4 del lado derecho implica $n\geq4$ .

$(n+2)(n+1)=18(n-3)$ es la ecuación reducida.

Al notar el 18 en el R.H.S. me da la idea de probar n=7 u 8 como primer par de ideas:

L.H.S: $9*8 = 72$

R.H.S: $18*4 = 72$

Probando con n=8 da:

L.H.S: $10*9=90$

R.H.S: $18*5=90$

Para n más altos, como 16,17, los términos son demasiado diferentes como para poder calcularlos. 18*17 comparado con 18*13 no va a ser igual, ni tampoco 19*18 comparado con 18*14 ya que estos tendrían un factor en común.

Así, $n=0,1,2,$ o $7,8$ serían soluciones asumiendo que uno no pone adecuadamente un límite inferior a n.

Answer 4

Tenemos $P(n+2,5) = 18 \cdot P(n,4)$ creo. Tenga en cuenta que $P(x,k)=\frac{x!}{(x-k)!}$ para $x,k \in \mathbb{N}$ tal que $x>k$ por lo que esta ecuación se puede reescribir como $$\frac{(n+2)!}{((n+2)-5)!}=\frac{(n+2)!}{(n-3)!}=(n+2)(n+1) \cdot n(n-1)(n-2) \\= 18 \cdot \frac{n!}{(n-4)!}=18 \cdot n(n-1)(n-2)(n-3).$$ A partir de aquí, observe que $n=0,1,2$ son soluciones triviales (sustituyendo estos resultados en $0=0$ ). Así, tenemos (para $n \neq 0,1,2,3$ ) $$\frac{(n+2)(n+1)}{n-3}=18.$$ Esto debería darte un buen comienzo. Reordena esto y reúne términos similares para obtener una ecuación polinómica que puedas resolver $n$ .