¿Es el conjunto de todas las secuencias acotadas completo?

Question

Dejemos que $X$ sea el conjunto de todas las secuencias acotadas $x=(x_n)$ de números reales y que $$d(x,y)=\sup{|x_n-y_n|}.$$ Necesito demostrar que $X$ es un espacio métrico completo.

Necesito demostrar que todas las secuencias de Cauchy son convergentes. Agradezco su ayuda.

Answer 1

SUGERENCIA: Deja que $\langle x^n:n\in\Bbb N\rangle$ sea una secuencia de Cauchy en $X$ . Los superíndices son sólo eso, etiquetas, no exponentes: $x^n=\langle x^n_k:k\in\Bbb N\rangle\in X$ . Fijar $k\in\Bbb N$ y considerar la secuencia

$$\langle x^n_k:n\in\Bbb N\rangle=\langle x^0_k,x^1_k,x^2_k,\dots\rangle\tag{1}$$

de $k$ -coordenadas de las secuencias $x^n$ . Demuestre que para cualquier $m,n\in\Bbb N$ , $|x^m_k-x^n_k|\le d(x^m,x^n)$ y usar esto para concluir que la secuencia $(1)$ es una secuencia de Cauchy en $\Bbb R$ . $\Bbb R$ está completo, por lo que $(1)$ converge a algún $y_k\in\Bbb R$ . Sea $y=\langle y_k:k\in\Bbb N\rangle$ ; demuestran que $y\in X$ y que $\langle x^n:n\in\Bbb N\rangle$ converge a $y$ en $X$ .

Answer 2

Se puede demostrar que $d$ es una métrica en $X$ . El espacio métrico $(X,d)$ se denota generalmente por $l^{\infty}$ . Demostraremos que toda secuencia de Cauchy en $l^{\infty}$ converge. Sea $(x_m)$ sea cualquier secuencia de Cauchy en $l^{\infty}$ . Para cada $m\ge 1$ , escriba $$x_m=(c_1^{(m)},c_2^{(m)},\cdots)\in l^{\infty}.$$

No es difícil demostrar que para cada $j\in \mathbb{Z}^+$ la secuencia $(c_j^{(m)})$ es una secuencia de Cauchy en $\mathbb{R}$ y por lo tanto converge (porque $\mathbb{R}$ está completo) a $c_j\in \mathbb{R}$ . Toma $x=(c_j)$ . Con esto, sólo hay que demostrar que $x$ está acotado, por lo que $x\in l^{\infty}$ . Por último, demuestre que $x_m\to x$ como $m\to +\infty$ .