Endomorfismo $\phi: M_{n}(\mathbb{C}) \rightarrow M_{n}(\mathbb{C})$ que estabiliza $GL_{n}(\mathbb{C}).$

Question

Me han dado esto como tarea, y no tengo ni idea de cómo proceder. ¿Puede alguien ayudarme? La pregunta es:

(1) Que $\phi: M_{n}(\mathbb{C}) \rightarrow M_{n}(\mathbb{C})$ sea un endomorfismo tal que $$M \in \operatorname{GL}_{n}(\mathbb{C}) \implies \phi (M) \in \operatorname{GL}_{n}(\mathbb{C}).$$ Demuestre que, para cualquier $M \in \operatorname{GL}_{n}(\mathbb{C})$ tenemos $$M \in \operatorname{GL}_{n}(\mathbb{C}) \iff \phi (M) \in \operatorname{GL}_{n}(\mathbb{C}).$$

Para este problema, recibimos una pista del profesor:

(2) Si el rango $(M) < n,$ entonces existe $P \in \operatorname{GL}_{n}(\mathbb{C})$ tal que, para cualquier $\lambda \in \mathbb{C}$ , $P - \lambda M$ es invertible.

No sé cómo demostrar (1) ni (2). Aunque mi objetivo principal es demostrar (1), se agradecería cualquier ayuda para demostrar (2).

Answer 1

Tiene que demostrar que $\phi(M)$ es invertible implica que $M$ es invertible.

Supongamos que $M$ no es invertible, existe $P$ invertible tal que para cada $\lambda, P-\lambda M$ es invertible esto implica que $\phi(P)-\lambda\phi(M)$ es invertible y $I-\lambda \phi(P)^{-1}\phi(M)$ invertible para cada $\lambda$ . La matriz $\phi(P)^{-1}\phi(M)$ es invertible, tiene un valor propio $c$ , $I-{1\over c}\phi(P)^{-1}\phi(M)$ no es invertible. Contradicción.

Answer 2

(2) parece falso: $det(P-\lambda M)$ es un polinomio en $\lambda$ , por lo que tiene una raíz.

Answer 3

(2) (la pista) Supongamos $r=rank(M)<n$ por lo que existe $A,B\in GL_n(\mathbb{C})$ tal que $$M=AN_rB,$$ donde $N_r=\left[\begin{array}{cc}0&I_r\\0&0\end{array}\right]$ . Define $$P=AB,$$ con $A,B$ como en el caso anterior. Así, para cualquier $\lambda\in\mathbb{C}$ tenemos $$P-\lambda M=AB-\lambda AN_rB=A(I-\lambda N_r)B.$$ Ahora sólo tenemos que ver que $(I-\lambda N_r)\in GL_n(\mathbb{C})$ . Pero esto es evidente, porque $(I-\lambda N_r)$ es una matriz triangular superior con todas las entradas diagonales iguales a $1$ por lo que su determinante es igual a $1$ y esto nos da $(I-\lambda N_r)\in Gl_n(\mathbb{C})$ . Finalmente, $(P-\lambda M)\in GL_n(\mathbb{C})$ .