Normalización de la medida de integración de la fórmula de Feynman para combinar denominadores

Question

En Mark Srednicki "Quantum field theory", sección 14 -Loop corrections to the propagator-, se presenta la fórmula de Feynman para combinar denominadores:
$\frac{1}{A_1 ... A_n} = \int dF_n (x_1 A_1 + ... + x_n A_n)^{-n}$ Ecuación (14.9)
donde la medida de integración $dF_n$ sobre los parámetros de Feynman $x_i$ es
$\int dF_n = (n - 1)! \int_0 ^1 dx_1 ... dx_n \delta (x_1 + ... + x_n - 1)$ Ecuación (14.10)
La medida se normaliza de manera que
$\int dF_n 1 = 1$ Ecuación (14.11)

Mientras que la Ec. (14.9) se da una pista para demostrarla en el problema 14.1 (yo logré demostrarla), no se da ninguna pista para la Ec. (14.11), que es la normalización de la medida de integración $dF_n$ .

Mi pregunta es: ¿Cómo demostrar la Ec. (14.11), que es la normalización de la medida de integración $dF_n$ ? O, ¿hay alguna referencia (enlace) donde pueda encontrar la demostración?

Answer 1

Empezar por el truco de Schwinger $$ \frac{1}{A_1\ldots A_n}= \int_0^\infty dt_1\cdots dt_n e^{-\sum_{i=1}^\infty t_i A_i} $$ e insertar $$ 1= \int_0^\infty d\tau \,\delta(t_1+\ldots+ t_n-\tau) $$ en la integral. (Para cada conjunto de $t_i$ en el dominio de integración siempre hay un único valor de $\tau$ para lo cual $t_1+\ldots+ t_n=\tau$ ) para obtener $$ \frac{1}{A_1\ldots A_n}= \int_0^\infty d\tau \int_0^\infty d^n t \delta(t_1+\ldots+ t_n-\tau) e^{-\sum_i t_i A_i} $$ ahora escriba $t_i = \tau x_i$ y utilizar $\delta(x\tau)=\tau^{-1}\delta(x)$ en la forma $$ \delta(\tau (x_1+\ldots+ x_n -1))= \tau^{-1} \delta(x_1+\ldots x_n -1) $$ para conseguir $$ \frac{1}{A_1\ldots A_n}=\int_0^\infty \tau^{n-1} d\tau\left\{ \int_0^\infty d^n x \,\delta(x_1+\ldots x_n -1)e^{-\tau(\sum_i x_i A_i)}\right\}\\ = \Gamma(n) \int_0^\infty d^nx \delta(x_1+\ldots x_n -1)\frac 1 {(\sum x_i A_i)^{n}}. $$ Entonces, como $\Gamma(n)=(n-1)!$ El resultado de Feynman es el siguiente.