¿Existe una operación sobre matrices tal que el determinante dé lugar a un homomorfismo con el grupo aditivo de los reales?

Question

Es bien sabido que, bajo la multiplicación matricial estándar $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ o, en otras palabras, que $\det : \mathbb{R}^{n \times n} \rightarrow \langle\mathbb{R}, * \rangle$ es un homomorfismo monoide.

De forma similar, dadas dos matrices cualesquiera $A,B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ¿existe una operación $A\star B$ tal que $\det(A \star B) = \det(A) + \det(B)$ ?

Answer 1

Dejemos que $A\star B$ sea la matriz diagonal cuyas entradas diagonales son todas iguales a 1 excepto la superior izquierda, que es igual a $\det A+\det B$ .

Answer 2

Si $A,B$ son invertibles, descomponerlos como $\det(A)^{1/n} \bar A$ donde $\bar A$ tiene un determinante $1$ y definir $A \star B = (\det A + \det B)^{1/n}\bar A \bar B$ . Para $A$ singular, $B$ definir invertible $A \star B = B \star A = B.$ Cuando ambos son singulares definen $A \star B = 0$ .

No es bonito. Probablemente ni siquiera sea asociativo.

En realidad, esto es demasiado complicado: basta con definir $A \star B = {\rm diag}( x, 1, 1, \ldots, 1)$ donde $x=\det A + \det B$ . Este es asociativo, pero es trivializar la cuestión: se puede escribir esta operación como $+ \circ d$ donde $d(A) = {\rm diag}(\det A, 1 \ldots).$ Por lo tanto, lo que se hace esencialmente es tomar primero el determinante e identificar este espacio unidimensional de matrices con los reales, de modo que el homomorfismo que deseamos es realmente el mapa de identidad en $\mathbb R$ .

¿Existe una significativo operación con esta propiedad? Lo dudo.

Answer 3

Esto es realmente imposible para $n=0$ ya que allí el determinante es siempre igual a $1$ y $1+1\neq1$ . (Recordemos que el determinante de una matriz identidad es siempre $1$ Esto es cierto incluso para el $0\times0$ matriz). Se podría llamar a esto un caso límite, pero el fracaso en un caso tan simple podría ser una advertencia de que se está en un camino equivocado.

Answer 4

Alguien publicó esto, pero más tarde borró su mensaje, pero pensé que era inteligente, y probablemente lo más cercano a lo que estaba buscando, así que pensé en reproducirlo aquí como referencia:

Dejemos que $A \star B = \pmatrix{A & -I \\ B & I}$ entonces por la fórmula del determinante de bloque $det(A \star B) = det(A)det(I) - det(-I)det(B) = det(A) + det (B)$ .