Fórmula Faulhaber Identidad

Question

Tengo que mostrar la siguiente identidad:

$$ S_n^p := 1^p+2^p+...+n^p $$ $$ (p+1)S_n^p+\binom{p+1}{2}S_n^{p-1}+\binom{p+1}{3}S_n^{p-2}+...+S_n^0=(n+1)^{p+1}-1 $$

Lo que hice primero es utilizar el teorema del binomio en el término el lado derecho de la ecuación, lo que resulta:

$$ (n+1)^{p+1}-1=\binom{p+1}{1}n+\binom{p+1}{2}n^{2}+...+\binom{p+1}{p}n^{p}+n^{p+1} $$

A partir de aquí no estoy muy seguro de que ambos términos sean iguales. ¿Alguna pista sobre cómo podría proceder?

Answer 1

$$(n+1)^{p+1}-1=\sum_{k=1}^n[(k+1)^{p+1}-k^{p+1}]=\sum_{k=1}^n\sum_{j=0}^{p}\binom{p+1}{j}k^{j}=\sum_{j=0}^{p}\sum_{k=1}^n\binom{p+1}{j}k^{j}\\=\sum_{j=0}^{p}\binom{p+1}{j}S_n^j=\sum_{j=0}^{p}\binom{p+1}{p+1-j}S_n^j$$

Answer 2

Supongamos que tenemos $$S_n^p = \sum_{q=1}^n q^p$$

y buscamos evaluar $$\sum_{q=1}^{p+1} {p+1\choose q} S_n^{p+1-q} = - S_n^{p+1} + \sum_{q=0}^{p+1} {p+1\choose q} S_n^{p+1-q}.$$

Observe que $$q^p = \frac{p!}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} z^{p-1} \exp(q/z) \; dz.$$

Introducir la función generadora $$f(w) = \sum_{p\ge 0} S_n^p \frac{w^p}{p!}.$$

Por lo tanto, tenemos para $f(w)$

$$f(w) = \sum_{p\ge 0} \frac{w^p}{p!} \frac{p!}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} z^{p-1} \sum_{q=1}^n \exp(q/z) \; dz \\ = \sum_{q=1}^n \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \exp(q/z) \frac{1}{z} \sum_{p\ge 0} z^p w^p \; dz \\ = \sum_{q=1}^n \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \exp(q/z) \frac{1}{z} \frac{1}{1-zw} \; dz.$$

Obsérvese que la cantidad que pretendemos evaluar es $$-S_n^{p+1} + (p+1)! [w^{p+1}] f(w) \exp(w)$$

donde el término del producto viene dado por la integral $$\frac{(p+1)!}{2\pi i} \int_{|w|=\epsilon} \frac{1}{w^{p+2}} \exp(w) \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \sum_{q=1}^n \exp(q/z) \frac{1}{z} \frac{1}{1-zw} \; dz \; dw.$$

Evaluamos la integral en $z$ utilizando el negativo de la suma de los residuos en $z=1/w$ y $z=\infty.$

Para el residuo en $z=1/w$ reescribir la integral de la siguiente manera: $$-\frac{(p+1)!}{2\pi i} \int_{|w|=\epsilon} \frac{1}{w^{p+3}} \exp(w) \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \sum_{q=1}^n \exp(q/z) \frac{1}{z} \frac{1}{z-1/w} \; dz \; dw.$$

Esto da como resultado $$-\frac{(p+1)!}{2\pi i} \int_{|w|=\epsilon} \frac{1}{w^{p+3}} \exp(w) \sum_{q=1}^n \exp(qw) \times w \; dw \\ = -\frac{(p+1)!}{2\pi i} \int_{|w|=\epsilon} \frac{1}{w^{p+2}} \sum_{q=1}^n \exp((q+1)w) \; dw.$$

Lo negativo de esto es $$\sum_{q=1}^n (q+1)^{p+1}.$$

Para el residuo en el infinito obtenemos $$-\mathrm{Res}_{z=0} \frac{1}{z^2} \sum_{q=1}^n \exp(qz) \times z \times \frac{1}{1-w/z} \\ = -\mathrm{Res}_{z=0} \sum_{q=1}^n \exp(qz) \times \frac{1}{z-w} = 0.$$

Hemos demostrado que

$$- S_n^{p+1} + \sum_{q=0}^{p+1} {p+1\choose q} S_n^{p+1-q} = - S_n^{p+1} + \sum_{q=1}^n (q+1)^{p+1} = (n+1)^{p+1} - 1,$$

como se ha reclamado.