¿Los valores de la diferencial de una función en un grupo de Lie con un único máximo abarcan el álgebra de Lie?

Question

Consideremos: un campo vectorial $X=\nabla \phi$ en un grupo de Lie matricial compacto, semisimple y conectado $G$ donde $\phi$ como un campo escalar suave en $G$ que posee un único máximo que topológicamente es un punto, y $\nabla$ es el gradiente con respecto a la métrica bi-invariante (único hasta un factor constante que no tiene importancia aquí).

¿Es cierto lo siguiente: el conjunto $S = \left\{ X|_g g^{-1} \ \big| \ g \in G \right\}$ debe abarcar $\mathfrak{g}(n)$ (el álgebra de mentira de $G$ )?

aquí $X|_g g^{-1}$ es la traducción correcta de $X|_g$ a la identidad de $G$ Como tenemos un grupo de Lie matricial, esta composición de un vector tangente y un elemento del grupo es simplemente una multiplicación matricial.

Answer 1

Claro. La métrica es una pista falsa aquí: esto es lo mismo que preguntar si las traducciones del diferencial $d\phi$ span $\mathfrak{g}^*$ . Dicho así, la respuesta es fácil de ver. Si no abarcaran, entonces habría un elemento no nulo de la perpendicular al subespacio más pequeño que abarcan, es decir, un vector no nulo $X\in \mathfrak{g}$ tal que $d\phi$ es perpendicular al campo vectorial invariante de la derecha $R_X$ . Si este fuera el caso, entonces $\phi$ sería constante en las trayectorias de la forma $e^{tX}g$ (ya que $R_X$ es tangente a estas trayectorias), por lo que no podría tener un máximo aislado.

Nótese que aquí no he utilizado compacto, semi-simple o conexo, ni tampoco que exista un único máximo; sólo necesito que exista un máximo o un mínimo aislado (o un punto crítico aislado). En realidad, este argumento muestra que sólo considerar los valores en cualquier vecindad del máximo es suficiente para un conjunto de extensión.